5.2. ПЛАНИРОВАНИЕ ЗКСПЕРИМЕНТА И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ОДНОФАКТОРНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ
В результате проведения эксперимента по исследованию функции одной независимой переменной получаем совокупность пар значений фактора и отклика: x 1 y 1 ; x 2 y 2 ; …, x n y n .При пассивном эксперименте значения фактора x случайны, при активном – планируются и задаются экспериментатором.
При планировании активного эксперимента можно использовать рекомендации, рассмотренные выше. При этом необходимо выбрать число сечений (значений X ), в которых следует производить измерение у , разместить выбранные сечения в зонах наибольшей неопределенности предполагаемой зависимости; запланировать необходимое число повторных измерений в сечениях.
После проведения эксперимента его результаты целесообразно представить графически в виде поля точек, математическое списание которого является задачей обработки.
Преобразование координат. Прежде чем начинать подбор аналитической зависимости, часто бывает необходимо придать полю экспериментальных точек более компактный вид. Для этого проводят преобразование координат. Если экспериментальные данные очень разбросаны, целесообразно ввести логарифмические координаты по обеим осям. Если большой разброс данных наблюдается по одной из переменных, то логарифмический масштаб следует ввести по оси этой переменкой.
Преобразование координат часто проводят с целью такого формирования поля экспериментальных данных, которое позволяло бы аппроксимировать их линейкой функцией. Пример подобного преобразования представлен на рис.5.2. Поле экспериментальных точек рис.5.2,а) свидетельствует о гиперболической зависимости У = 1/ (a + bx). Если по оси координат ввести координату 1/У , то экспериментальные точки аппроксимируются прямой 1/ У = a + bx (Рис.5.2,б), параметры которой a и b ориентировочно можно оценить непосредственно из графика.
Для установления характера зависимости используют ряд методов.
Метод контура. В построенном поле точек (рис.5.3) контуров обводят основное поле. Резко выделяющиеся точки рассматривают как промахи и не учитывают. На глаз проводят осевую линию oхваченного контуром поля точек. Эта линия показывает характер зависимости.
Метод медианных центров более эффективен, чем метод контура. Поле точек разделяют на области (рис.5.4). В каждой области проводят горизонтальную и вертикальную прямые, так, чтобы по обе стороны от них было равное число точек. Точки пересечения прямых (медианные центры) соединяют плавной линией. Если поле линейное, то достаточно двух областей.
Метод групповых средних близок к методу медианных центров. В группах точек ,на которые разбивается всё поле экспериментальных данных , рассчитываются средние арифметические по x и по y (групповые средние).По точкам с координатами (xi ,yi) проводят плавную кривую. Этот метод сложнее, поскольку требуется вычисление средних.
Выбор модели однофакторной зависимости. При выборе модели экспериментальной зависимости нужно стремиться к более простым формулам, если нет веских оснований для усложнения модели. Широкое использование
Рис.5.5
Рис.5.6
при описании однофакторных зависимостей нашли степенные и экспоненциальные функции.
Степенная функция (рис. 5.5) охватывает широкий класс возможных экспериментальных зависимостей. Она выражается формулой:
У = ахb, (5.9)
где a и b – параметры, подлежащие определению путем обработки. Зависимость (5.9) легко сводится к линейной путем логарифмирования:
ln y = ln a + b ln x. (5.10)
Экспоненциальная функция (рис. 5.6) в зависимости от числовых значений параметров также охватывает широкий класс возможных зависимостей. Ее аналитическое выражение:
Y = a ebx (5.11)
также сводится к линейной зависимости путем логарифмирования:
ln y = ln a + bx (5.12)
Параметр ln a . в формулах (5.10) и (5.12) можно оценить непосредственно из графиков аналогичных Рис.5.2.
В качестве моделей экспериментальных зависимостей используют и другие формулы. Парабола ,проходящая через начало координат (Рис.5.7):
Y = a x 2 + b x (5.13)
Путём преобразования координат получаем прямую:
y
Z = = ax + b. (5.14)
x
Гипербола ,проходящая через начало координат (Рис.5.8),с горизонтальной асимптотой :
x 1
Y = = (5.15)
a + bx a/x + b
взяв обратную величину получаем:
1/y = a/x + b (5.16)
и обозначив 1/ y = z ,1/x = u ,получим прямую :
z = a u + b. (5.17)