6 РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ И ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ.

6 РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ И ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ.

 Обобщая изложенное в предыдущей лекции покажем последовательность отбора и обработки данных, полученных в результате проведения пассивного наблюдения за технологическим процессом в производственных условиях. Для анализа и обработки данных в основном используют корреляционный анализ, с помощью которого определяют взаимосвязи анализируемых переменных величин и по величине коэффициента корреляции судят о тесноте связи этих данных.

Одним из видов установления связей в пассивном эксперименте является использование регрессионного анализа, то-есть метода с помощью которого определяются коэффициенты модели и обеспечивающие минимальные значения функции ошибки.

Применение этого метода правомерно, если:

• результаты наблюдений y1,y2, … ,yi – независимые нормально распределенные случайные величины;

• факторы x1,x2, … ,xn измеряются с пренебрежительно малой ошибкой по сравнению с ошибкой в определении и некоррелированы друг с другом;

• дисперсии S12 , S22 , … , SN2 должны быть однородными.

В этом случае определяется функциональная зависимость среднего значения Y от X :

M [Y(X)] = f (X,α,β,γ,…) (6.1)

где α,β,γ,…неизвестные параметры.

Наиболее простым случаем является линейная регрессия ,когда функция f(X) линейна относительно X .Тогда мы можем записать :

Y = b0 + b1 X (6.2)

Для определения параметров модели следует найти значения коэффициентов b0,b1 путём решения системы уравнений:

Y1 = b0 + b1 X11 (6.3)

Y2 = b0 + b1 X12

 

В случае разброса результатов под действием случайных факторов для нахождения коэффициентов используется метод наименьших квадратов :

N

F = Σ (yk – y) – min (6.4)

k=1

 

 

или для простейшей модели

N

F = Σ (yk – b0 – b1x1k) min (6.5)

k=1

По величине коэффициентов в уравнении регрессии можно судить об их влиянии на выходной параметр.

В случае большого числа факторов уравнение приобретает вид :

Y = b0 + b1x1 + b2x2 + … + bixi + … + bnxn (6.6)

Коэффициенты b0 и bi в уравнении можно определить как:

b0 = Kxy / Dx; b1 = My – b0Mx (6.7)

где

N N

MX = Σ xi / N ; My = Σ yi / N (6.8)

i=1 i=1

 

N

Kxy = Σ( xi – MX ) (yi – My ) / N (6.9)

i=1

N

Dx = Σ( xi – MX )2 / N (6.10)

i=1

 

Линейная зависимость ,связывающая x и y имеет вид:

 

Kxy Kxy

Y = + My MX X (6.11)

Dx Dx

Пример .Температура жала паяльника зависит от напряжения на нагревателе следующим образом смотри таблицу:

 

Напряжение питания, В

32

36

38

40

42

46

48

Температура ,м/span>С

225

240

250

255

260

270

280

 

В результате расчёта по формулам 6.7 – 6.11 имеем уравнение регрессии следующего вида:

Т = 122.6 + 3.27 U.

При U = 40 В расчётная температура жала 253.4 м/span>С.

Преимущество пассивного эксперимента состоит в том, что при его применении нет необходимости тратить время и средства на постановку опыта. Однако такой эксперимент имеет существенные недостатки , ограничивающие его применение для оптими­зации технологических процессов.

Во-первых, интервалы варьирования технологическими факторами обычно малы, noэтому изменения выходной величины будут в большей степени зависеть от воздействия неконтролируемых случайных возмущений.

Во-вторых, при пассивном эксперименте в производственных условиях часто не рассматриваются факторы ,оказывающие существенное влияние на процесс из-за невозможности их изменения или peгистрации.