Шпоры – 21-25

21. Физический маятник

Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходя­щей через центр масс тела (рис.201).

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол а, то в со­ответствии с уравнением динамики враща­тельного движения твердого тела (18.3) момент М возвращающей силы можно записать в виде

где У — момент инерции маятника относи­тельно оси, проходящей через точку О, l — расстояние между точкой подвеса и цент­ром масс маятника, Fτ=-mgsinα≈mgα — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления Fτ и α всегда противоположны; sinα≈α соответствует малым колебаниям маятни­ка, т. е. малым отклонениям маятника из положения равновесия).

Уравнение    (142.4)    можно   записать в виде

Принимая

ω0=√mgl/J. (142.5) получим уравнение

идентичное  с   (142.1),  решение  которого (140.1)  известно:

α=α0cos(ω0t+φ). (142.6)

Из выражения (142.6) следует, что при малых колебаниях физический маят­ник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω0 (см (142.5)) и периодом

Т = 2π/ω0=2π√J/(mgl)=2π√L/g.

(142.7)

где L = J/(ml) — приведенная длина физи­ческого маятника.

Точка О’ на продолжении прямой ОС, отстоящая от оси подвеса на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 201). Применяя теорему Штейнера (16.1), по­лучим

т. е. ОО’ всегда больше ОС. Точка подвеса О и центр качаний О’ обладают свойством взаимозаменяемости: если ось подвеса пе­ренести в центр качаний, то точка О пре­жней оси подвеса станет новым центром качаний и период колебаний физического маятника не изменится.

22. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания не­обходимо сложить. Сложим гармониче­ские колебания одного направления и оди­наковой частоты

воспользовавшись методом вращающего­ся вектора амплитуды (см. § 140). Постро­им векторные диаграммы этих колебаний (рис.203). Так как векторы a1 и А2 вра­щаются с одинаковой угловой скоростью ω0, то разность фаз (φ2-φ1) между ними остается постоянной.

Очевидно, что уравнение результирую-

226

щего колебания будет

х=х1+х2=Аcos(ω0t+φ). (144.1)

В выражении (144.1) амплитуда А и начальная фаза φ соответственно за­даются соотношениями

Таким образом, тело, участвуя в двух гар­монических колебаниях одного направле­ния и одинаковой частоты, совершает так­же гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ2-φ1) складываемых ко­лебаний.

Проанализируем выражение (144.2) в зависимости от разности фаз (φ2-φ1):

1) φ2-φ1=±2mπ (m = 0, 1, 2,…), тог­да A=A1+A2, т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме ампли­туд складываемых колебаний;

2) φ2-φ1= ±(2m+1)π (m=0, 1, 2,…), тогда A = │A1-A2│, т.е. амплиту­да результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых коле­баний.

23.Биения (Продолжение 22)

Для практики особый интерес пред­ставляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового на­правления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически из­меняющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возника­ющие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называ­ются биениями.

Пусть амплитуды складываемых коле­баний равны А, а частоты равны ω и ω+Δω, причем Δω<<ω. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колеба­ний были равны нулю:

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе Δω/2<<ω, найдем

Получившееся выражение есть произведе­ние двух колебаний. Так как Δω<<ω, то сомножитель, стоящий в скобках, почти не изменяется, когда сомножитель cosωt со­вершит несколько полных колебаний. По­этому результирующее колебание х мож­но рассматривать как гармоническое

227

с частотой ω, амплитуда Аб, которого изме­няется по следующему периодическому за­кону:

Частота изменения Aб, в два раза боль­ше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т.е. частота биений равна разности частот складываемых ко­лебаний: ωб=Δω. Период биений

Tб=2π/Δω.

Характер зависимости (144.3) показан на рис. 204, где сплошные жирные линии да­ют график результирующего колебания (144.3), а огибающие их — график мед­ленно меняющейся по уравнению (144.4) амплитуды.

Определение частоты тона (звука оп­ределенной высоты (см. §158)) биений между эталонным и измеряемым колеба­ниями — наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений ис­пользуется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.

Любые сложные периодические коле­бания s=f(t) можно представить в виде суперпозиции одновременно совершаю­щихся гармонических колебаний с различ­ными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте ω0:

Представление периодической функции в виде (144.5) связывают с понятием гар­монического анализа сложного периодиче­ского колебания, или разложения Фурье.

Члены ряда Фурье, определяющие гармо­нические колебания с частотами ω0, 2ω0, 3ω0,…, называются первой (или основной),

второй, третьей и т. д. гармониками слож­ного периодического колебания.

24. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим результат сложения двух гар­монических колебаний одинаковой часто­ты ω, происходящих во взаимно перпенди­кулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты начало отсчета вы­берем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю:

Разность фаз обоих колебаний равна φ, А и В — амплитуды складываемых коле­баний.

Уравнение траектории результирую­щего колебания находится исключением из выражений (145.1) параметра t. За­писывая складываемые колебания в виде

и заменяя во втором уравнении cosωt на х/А и sinωt на √(1-(х/A)2), получим по­сле несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произ­вольно:

Так как траектория результирующего ко­лебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически по­ляризованными.

Ориентация осей эллипса и его разме­ры зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз φ. Рассмотрим некоторые частные случаи, представляю­щие физический интерес:

1) φ=mπ(m=0, ±1, ±2,…). В дан­ном случае эллипс вырождается в отрезок

228

прямой

у=±(В/А)х, (145.3) где знак плюс соответствует нулю и четным значениям т (рис. 205, a), a знак минус — нечетным значениям т (рис. 205, б). Результирующее колеба­ние является гармоническим колебанием

с частотой ω и амплитудой √(A2+В2), совершающимся вдоль прямой (145.3), составляющей с осью х угол φ=

В   данном   случае

имеем дело с линейно поляризованными колебаниями.

В данном случае уравнение примет вид

Это уравнение эллипса, оси которого со­впадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис.206). Кроме того, если А=В, то эллипс (145.4) вырождается в окруж­ность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующе­го колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, со­вершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 207 представлены фигуры Лисса­жу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указа­ны вверху).

Отношение частот складываемых коле­баний равно отношению числа пересече­ний фигур Лиссажу с прямыми, парал­лельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу— широко исполь­зуемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых ко­лебаний, а также формы колебаний.

25. Волновые процессы. Продольные и поперечные волны

Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газо­образной), распространяются в ней с ко­нечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше расположена части­ца среды от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Иначе го­воря, фазы колебаний частиц среды и источника тем больше отличаются друг от друга, чем больше это расстояние. При изучении распространения колебаний не учитывается дискретное (молекулярное) строение среды и среда рассматривается каксплошная, т. е. непрерывно распреде­ленная в пространстве и обладающая уп­ругими свойствами.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом (или волной). При распростра­нении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтомуосновным свойством всех волн, независимо от их природы, яв­ляется перенос энергии без переноса ве­щества.

Среди разнообразных волн, встречаю­щихся в природе и технике, выделяются следующие их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Упругими (или механическими) во­лнами называются механические возму­щения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах части­цы среды колеблются в направлении рас­пространения волны, в поперечных — в плоскостях, перпендикулярных направ­лению распространения волны.

Продольные волны могут распро­страняться в средах, в которых возника­ют упругие силы при деформации сжа­тия и растяжения, т. е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные во­лны могут распространяться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т. е. фактически только в твердых телах; в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах — как про­дольные, так и поперечные.

Упругая волна называется гармониче­ской, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. На рис. 220 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростьюv вдоль оси x, т. е. приведена зависимость между смещением ζ частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием х этих частиц (например, частицы В) от источника колебаний О для какого-то фиксированного момента време­ни t. Хотя приведенный график функции I (x, t) похож на график гармонического колебания, но они различны по существу. График волны дает зависимость смещения

всех частиц среды от расстояния до источ­ника колебаний в данный момент времени, а график колебаний — зависимость сме­щения данной частицы от времени.

Расстояние между ближайшими части­цами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ, (рис.220). Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период, т. е.

λ=vT,

или, учитывая, что T=1/v, где v — часто­та колебаний,

v=λv.

Если рассмотреть волновой процесс подробнее, то ясно, что колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х, а колеблется совокупность частиц, рас­положенных в некотором объеме, т. е. во­лна, распространяясь от источника коле­баний, охватывает все новые и новые об­ласти пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к мо­менту времени t, называется волновым фронтом. Геометрическое место точек, ко­леблющихся в одинаковой фазе, называет­ся волновой поверхностью. Волновых по­верхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени — один. Волновой фронт также является волновой поверхностью. В принципе волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей, параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер. Со­ответственно волна называется плоской или сферической.

§ 154. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение

Бегущими волнами называются волны, ко­торые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности по­тока энергии. Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова (по име­ни русского ученого Н. А. Умова (1846— 1915), решившего задачу о движении энергии в среде). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, пере­носимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распро­странения волны.

Для вывода уравнения бегущей во­лны — зависимости смещения колеблю­щейся частицы от координат и времени — рассмотрим плоскую волну, предполагая, что колебания носят гармонический ха­рактер, а ось х совпадает с направлением распространения волны (рис. 220). В дан­ном случае волновые поверхности перпен­дикулярны оси х, а так как все точки волновой поверхности колеблются одина­ково, то смещение ξ будет зависеть только от х и t, т. е. ξ=ξ(х, t).

На рис. 220 рассмотрим некоторую частицу среды В, находящуюся от источ­ника колебаний О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плоскости х=0, описываются функцией ξ(0, t)=Аcosωt, то частица среды В колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источ­ника на т, так как для прохождения во­лной расстояния х требуется время τ=x/v, где v — скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид

ξ(x,t)=Acosω(t-x/v),     (154.1)

откуда следует, что ξ(х, t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (154.1) есть уравнение бегу­щей волны. Если плоская волна распро­страняется в противоположном направлении, то

ξ(х, t)=A cosω(t+x/v).

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль поло­жительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

ξ(x,t)=Acos[ω(t -х/v)+φ0],       (154.2)

где А=const — амплитуда волны, ω — циклическая частота волны, φ0 — началь­ная фаза колебаний, определяемая в об­щем случае выбором начал отсчета х и t, [ω(t-x/v)+φ0]—фаза плоской волны.

Для характеристики волн использует­ся волновое число

k=2π/λ=2π/vT=ω/v. (154.3) Учитывая (154.3), уравнению (154.2) можно придать вид

ξ(x,t)=Acos(ωt-kх+φ0). (154.4)

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (154.4) только знаком чле­на kx.

Основываясь на формуле Эйлера (140.7), уравнение плоской волны можно записать в виде

ξ(x,t)=Aei(ωt-kx+φ0),

где физический смысл имеет лишь дей­ствительная часть (см. § 140).

Предположим, что при волновом про­цессе фаза постоянна, т. е.

ω(t-x/v)+φ0=const. (154.5) Продифференцировав выражение (154.5) и сократив на ω, получим

dt-(1/v)dx=0, откуда

dx/dt=v. (154.6)

Следовательно, скорость v распростране­ния волны в уравнении (154.6) есть не что иное, как скорость перемещения фазы во­лны, и ее называют фазовой скоростью.

Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что урав­нение сферической волны — волны, волновые поверхности которой имеют вид кон­центрических сфер, записывается как

ξ(r,t)=A0/rcos(ωt-kr+φ0),   (154.7)

где r — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не по­глощающей энергию, амплитуда колеба­ний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/r. Уравнение (154.7) справедливо лишь для r, значи­тельно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).

Из выражения (154.3) вытекает, что фазовая скорость

v=ω/k. (154.8)

Если фазовая скорость волн в среде за­висит от их частоты, то это явление на­зывают дисперсией волн, а среда, в кото­рой наблюдается дисперсия волн, называ­ется диспергирующей средой.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описы­вается волновым уравнением — диффе­ренциальным уравнением в частных про­изводных

где    v — фазовая    скорость,    Δ=д2/дx2 +д2/дy2+д2/дz2 — оператор    Лапласа.    Решением уравнения (154.9) является урав­нение любой волны. Соответствующей под­становкой можно убедиться, что уравне­нию (154.9) удовлетворяют, в частности, плоская волна (см. (154.2)) и сфериче­ская волна (см. (154.7)). Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид