Шпоры – 1-5

1. Перемещение, скорость материальной точки, вычисление пути.

Траекто­рия движения материальной точки — ли­ния, описываемая этой точкой в простран­стве. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным.

Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории (рис.2). Отсчет времени начнем с момен­та, когда точка находилась в положении А. Длина участка траектории АВ, прой­денного материальной точкой с момента начала отсчета времени, называется дли­ной пути As и является скалярной фун­кцией времени: Δs = Δs(t). Вектор Δr=r-r0, проведенный из начального положе­ния движущейся точки в положение ее в. данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматривае­мый промежуток времени), называется пе­ремещением.

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствую­щим участком траектории и модуль пе­ремещения |Δr| равен пройденному пу­ти Δs.

Для характеристики движения материаль­ной точки вводится векторная величина — скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ей соответ­ствует радиус-вектор r0 (рис. 3). В течение малого промежутка времени Δt точка прой­дет путь As и получит элементарное (бес­конечно малое) перемещение Δr.

Вектором средней скорости <v> назы­вается отношение приращения Δr радиуса-вектора точки к промежутку времени Δt:

Направление вектора средней скоро­сти совпадает с направлением Δr. При неограниченном уменьшении Δt средняя скорость стремится к предельному значе­нию, которое называется мгновенной ско­ростью v:

Мгновенная скорость v, таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущей­ся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касатель­ной к траектории в сторону движения (рис. 3). По мере уменьшения Δt путь Δs все больше будет приближаться к |Δr|, поэтому модуль мгновенной скорости

Таким образом, модуль мгновенной скоро­сти равен первой производной пути по времени:

При неравномерном движении модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величиной (v) —средней ско­ростью неравномерного движения:

Если выражение ds = vdt (см. форму­лу (2.2)) проинтегрировать по времени в пределах от t до t+Δt, то найдем длину пути, пройденного точкой за время Δt:

В случае равномерного движения число­вое значение мгновенной скорости посто­янно; тогда выражение (2.3) примет вид

Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t1 до t2, дается интегралом

2. Нормальное и тангенциальное ускорение

В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величи­ной, характеризующей быстроту измене­ния скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Рассмотрим плоское движение, т. е. такое, при котором все участки тра­ектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор v задает скорость точки

А в момент времени t. За время Δt движу­щаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению и равную v1=v + Δv. Перенесем вектор v1 в точку А и найдем Δv (рис.4).

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t+Δt на­зывается векторная величина, равная от­ношению изменения скорости Δv к интер­валу времени Δt:

Мгновенным ускорением а (ускорени­ем) материальной точки в момент време­ни t будет предел среднего ускорения:

Таким образом, ускорение а есть вектор­ная величина, равная первой производной скорости по времени.

Разложим вектор Δv на две составля­ющие. Для этого из точки А (рис. 4) по направлению скорости v отложим вектор

AD, по модулю равный v1. Очевидно, что вектор CD, равный Δvτ, определяет изме­нение скорости по модулю за время Δt: Δvτ=v1- v. Вторая же составляющая вектора Δv-Δvn характеризует изменение скорости за время Δt по направлению.

Тангенциальная составляющая уско­рения

11

т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю. Найдем вторую составляющую ускоре­ния. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому As можно счи­тать дугой окружности некоторого радиу­са r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует Δvn/AB = v1/r, но так как AB = vΔt, то

В пределе при Δt→0 получим v1→v.

Поскольку v1→v, угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равно­бедренный, то угол ADE между v и Δvn стремится к прямому. Следовательно, при Δt→0 векторы Δvn и v оказываются взаим­но перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к тра­ектории, то вектор Δvn, перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускоре­ния, равная

называется нормальной составляющей ус­корения и направлена по нормали к тра­ектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

Полное ускорение тела есть геометри­ческая сумма тангенциальной и нормаль­ной составляющих (рис.5):

Итак,   тангенциальная  составляющая ускорения характеризует  быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения — быстроту из­менения скорости по направлению (на­правлена к центру кривизны траекто­рии).

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения дви­жение можно классифицировать следую­щим образом:

1) аτ=0, аn = 0 — прямолинейное рав­номерное движение;

2) aτ=a=const, an=0 — прямолиней­ное равнопеременное движение. При та­ком виде движения

Если начальный момент времени t1=0, а начальная скорость v1=v0, то, обозна­чив t2 = t и v2 = v, получим a = (v-v0)/t, откуда

v =v0+at.

Проинтегрировав эту формулу в пре­делах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, прой­денного точкой, в случае равнопеременно­го движения

3. Кинематика вращательного движения

Рассмотрим твердое тело, которое враща­ется вокруг неподвижной оси. Тогда от­дельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры ко­торых лежат на оси вращения. Пусть не­которая точка движется по окружности радиуса R (рис.6). Ее положение через промежуток времени Δt зададим углом Δφ. Элементарные (бесконечно малые) углы поворота рассматривают как векторы. Мо­дуль вектора dφ равен углу поворота, а его направление совпадает с направле­нием поступательного движения острия винта, головка которого вращается в на­правлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого, винта (рис.6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или акси­альными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они мо­гут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростью называется вектор­ная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Вектор «в направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор dφ (рис. 7). Размерность угловой скорости dimω=T-1, a . ее единица — радиан в секунду (рад/с).

Линейная скорость точки (см. рис. 6)

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как вектор­ное произведение:

При этом модуль векторного произведе­ния, по определению, равен

, а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от ω к R.

Если ω=const, то вращение равномер­ное и его можно характеризовать перио­дом вращения Т — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2π. Так как промежутку времени Δt=T соответствует Δφ=2π, то ω= 2π/Т, откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называет­ся частотой вращения:

Угловым ускорением называется век­торная величина, равная первой производ­ной угловой скорости по времени:

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой ско­рости. При ускоренном движении вектор

13

ε сонаправлен вектору ω (рис.8), при замедленном.— противонаправлен ему (рис. 9).

Тангенциальная   составляющая   ускорения

Нормальная составляющая ускорения

Таким образом, связь между линейны­ми (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная ско­рость v, тангенциальное ускорение аτ, нор­мальное ускорение аn) и угловыми величи­нами (угол поворота φ, угловая скорость (о, угловое ускорение ε) выражается сле­дующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности  (ε=const)

где ω0 — начальная угловая скорость.

4. Первый з-н Ньютона. Инерциальные системы отсчёта.

Динамика является основным разделом механики, в ее основе лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Законы Ньютона играют исклю­чительную роль в механике и являются (как и все физические законы) обобщени­ем результатов огромного человеческого опыта. Их рассматривают как систему взаимосвязанных законов и опытной про­верке подвергают не каждый отдельный закон, а всю систему в целом.

Первый закон Ньютона: всякая мате­риальная точка (тело) сохраняет состоя­ние покоя или равномерного прямолиней­ного движения до тех пор, пока воздейст­вие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние.

Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. По­этому первый закон Ньютона называют также законом инерции.

Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсче­та. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами от­счета. Инерциальной системой отсчета яв­ляется такая система, которая либо по­коится, либо движется равномерно и прямолинейно относительно какой-то другой инерциальной системы. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.

Опытным путем установлено, что инерциальной можно считать гелиоцен­трическую (звездную) систему отсчета (начало координат находится в центре Солнца, а оси проведены в направлении определенных звезд). Система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна, однако эффекты, обусловлен­ные ее неинерциальностью (Земля враща­ется вокруг собственной оси и вокруг Со­лнца), при решении многих задач прене­брежимо малы, и в этих случаях ее можно считать инерциальной.

Из опыта известно, что при одинако­вых воздействиях различные тела неоди­наково изменяют скорость своего движе­ния, т. е., иными словами, приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его мас­сы).

Масса тела — физическая величина, являющаяся одной из основных характе­ристик материи, определяющая ее инерци­онные (инертная масса) и гравитацион­ные (гравитационная масса) свойства. В настоящее время можно считать дока­занным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10-12 их значения).

Чтобы описывать воздействия, упоми­наемые в первом законе Ньютона, вводят понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость движения, т. е. приобретают ускорения (динамиче­ское проявление сил), либо деформируют­ся, т. е. изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил). В каждый момент времени сила характеризуется чис­ловым значением, направлением в про­странстве и точкой приложения. Итак, сила — это векторная величина, являюща­яся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и раз­меры.

5. 2-й и 3-й з-ны Ньютона

Второй закон Ньютона — основной за­кон динамики поступательного движе­ния — отвечает на вопрос, как изменяет­ся механическое движение материальной точки (тела) под действием приложен­ных к ней сил.

Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всег­да прямо пропорционально равнодейст­вующей приложенных сил:

a~F   (m=const). (6.1)

При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорения оказываются различными, а именно:

а~1/т    (F=const). (6.2)

Используя выражения (6.1) и (6.2) и учи­тывая, что сила и ускорение — величины векторные, можем записать

a = kF/m. (6.3)

Соотношение (6.3) выражает второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорцио­нально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точ­ки (тела).

В СИ коэффициент пропорциональности k = 1. Тогда

a = F/m,

или

F = ma = mdv/dt (6.4)

Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике есть величина постоянная, в выражении (6.4) ее можно внести под знак производной:

F=(d/dt)(mv). (6.5)

Векторная величина

p = mv, (6.6)

численно равная произведению массы ма­териальной точки на ее скорость и име­ющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки.

Подставляя (6.6) в (6.5), получим

F=dp/dt      (6.7)

Это выражение — более общая формули­ровка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Выраже­ние (6.7) называется уравнением движе­ния материальной точки.

Единица силы в СИ — ньютон (Н): 1 Н — сила, которая массе в 1 кг сообща­ет ускорение 1 м/с2 в направлении дейст­вия силы:

1 Н=1 кг•м/с2.

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго. Действительно, в случае ра­венства нулю равнодействующей сил (при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел) ускорение (см. (6.3)) также равно нулю. Однако первый закон Ньюто­на рассматривается как самостоятельный закон (а не как следствие второго зако­на), так как именно он утверждает су­ществование инерциальных систем отсче­та, в которых только и выполняется урав­нение (6.7).

о механике большое значение имеет принцип независимости действия сил: если на материальную точку действует одно­временно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускоре­ния можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к су­щественному упрощению решения задач. Например, на рис. 10 действующая сила F = ma разложена на два компонента: тангенциальную силу Fτ (направлена по касательной к траектории) и нормальную силу Fn (направлена по нормали к центру кривизны). Используя выражения

аτ=dv/dt и аn=v2/R, а также v=Rω, можно записать:

Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действия сил, под F во втором законе Ньютона понимают результирующую силу.

Третий закон Ньютона

Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона: всякое действие мате­риальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которы­ми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противо­положно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:

F12=-F2I, (7.1)

где F12 — сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй; F21 — сила, действующая на вторую мате­риальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.

При использовании законов динамики иногда допускают следующую ошибку: так как действующая сила всегда вызыва­ет равную по модулю и противоположную по направлению силу противодействия, то, следовательно, их равнодействующая до­лжна быть равна нулю и тела вообще не могут приобрести ускорения. Однако надо помнить, что во втором законе Ньютона речь идет об ускорении, приобретаемом телом под действием приложенных к нему сил. Равенство нулю ускорения означает равенство нулю равнодействующей сил, приложенных к одному и тому же телу. Третий же закон Ньютона говорит о равен­стве сил, приложенных к различным телам. На каждое из двух взаимодействующих тел действует только одна сила, которая и сообщает данному телу ускорение.

Третий закон Ньютона позволяет осу­ществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.