Руководство к выполнению лабораторной работы
Моделирование пространственно – временной динамики процессов в начальной стадии пожара
Цель работы: закрепить теоретические знания о физике возникновения загораний.
Используемое оборудование и средства: персональный компьютер, пакет Mathcad.
1. Краткие теоретические сведения.
1.1. Физико-математическая модель пространственно- временного распределения темепературы в начальной стадии развития очага пожара
Для построения модели пространственно-временного распределения темепературы введем ограничение, характерное для начальной стадии развития очага пожара (ОП): темепература уходящих газов на поверхности горения остается постоянной и зависит от горящего материала. Такое предположение остается верным, пока концентрация кислорода в воздухе, подтекающем к области горения, остается практически постоянной.
Математическое описание ОП основано на факте, что в зоне осесимметричного ОП образуются газы, плотность которых δi значительно меньше плотности окружающего воздуха δа. Вследствие этого возникает архимедова сила, поднимающая газы вверх. По мере продвижения вверх газы перемешиваются с окружающим воздухом и образуют газовоздушную смесь с температурой, отличной от температуры окружающего воздуха. Встречая преграду, газовоздушная смесь растекается вдоль нее (в помещении- вдоль потолка). Плотность газовоздушной смеси начинает расти по мере передвижения ее вверх за счет подмешивания в нее окружающего воздуха.
Рис.1
Струя газовоздушной смеси проходит 4 (рис.1) стадии изменения: I- достижение потолка; II- начало растекания под потолком; III-завершение растекания под потолком; IV- накопление под потолком. Известны исследования четвертой стадии изменения струи при стационарном процессе горения. Сведения о первых трех стадиях носят отрывочный характер, они пока мало изучены. Рассмотрим единое математическое описание всех четырех стадий при нестационарном режиме ОП. Для этого разобъем струю, возникающую над ОП, на 3 участка. На первом из них течение по поперечному сечению остается более или менее однородным и ограничено свободной поверхностью струи, на которой давление такое же, как и внешнее гидростатическое (окружающая среда остается невозмущенной). Обозначим величины для струи и окружающей среды соответственно индексами i и a, а давление на некотором начальном уровне po. Тогда давление окружающей среды и давление внутри струи:
pa = po – g δа y; (1.1)
pi = po – g δi y-1/2(δi v2), (1.2)
где g- ускорение свободного падения, y- координата, отсчитываемая от уровня, где скорость движения струи v=0.
Если средние параметры химической реакции в ОП остаются постоянными, δi = const. Введем понятие плавучести как безразмерную величину:
B = (δа – δi)/ δi. (1.3)
На основании решений (1.1)-(1.3) и учетом того, что на границе pa = pi , получим для скорости потока:
v2= 2g В y. (1.4)
Объемный расход в струе радиуса R, направленной вверх,
(1.5)
где v(S)- скорость движения газов в точке элемента dS; 
-область интегрирования, равная площади поперечного сечения струи и изменяющаяся во времени.
Если v- средняя скорость движения струи в сечении радиуса R (в струе), то
(1.6)
Решив совместно (1.4) и (1.6) получим
(1.7)
Таким образом, на этом участке поток сил плавучести (величина В) постоянен, а поток количества движения возрастает, пока не достигнет значения, характерного для осесимметричной напорной струи такого же размера.
nR = y, (1.8)
где n- показатель степени относительных изменений скорости и температуры потока, определяемый экспериментально.
Затем устанавливается течение в осесимметричной струе, порождаемое источником всплывающего потока, Это произойдет на высоте y1. Решив (1.7) и (1.8), получим:
(1.9)
Минимальное сечение струи будет находиться на высоте y1 и равно:
.
В этом сечении плавучесть В=Во=const равна начальной плавучести (не происходит смешения с окружающим воздухом), а поток архимедовой силы равен:
.
На втором участке струя ведет себя как напорная всплывающая струя, для которой справедливо соотношение (1.8). Кроме того, вертикальная производная потока количества движения равна силе плавучести (архимедова сила), поэтому
(1.10)
где m- коэффициент пропорциональности, который должен быть измерен.
Поток сил плавучести (поток архимедовой силы) удовлетворяет соотношению
(1.11)
Это выражение справедливо, поскольку температура горения является постоянной, а увеличение мощности ОП приводит только к возрастанию объемного расхода в струе при Во=const не нарушая ее геометрии.
Решив систему уравнений (1.8), (1.10) и (1.11), получим следующие зависимости:
; (1.12)
(1.13)
(1.14)
Постоянные интегрирования находим из условия y =y1 при t=to выражения (1.12)-(1.14) справедливы при t ≥ to . Время достижения потолка газовоздушным потоком определим из выражения (1.12) при условии, что 1,3 y1=H. Коэффициент 1,3 введен потому, что выражения (1.12)-(1.14) справедливы только для основной части высоты струи.
Экспериментально установлено, что высота всей развивающейся струи относится к полной высоте основной части струи как 1:3. Таким образом, построена математическая модель развития струи от ОП на стадии I изменения ее геометрии.
стадия II протекает следующим образом. Головная часть струи начинает деформироваться и поток газовоздушной смеси распространяется по третьему участку, т.е.под потолком. Процесс деформации заканчивается, когда основная часть газовой смеси достигает уровня y3. При этом образуется подобласть II’, в которой будет отсутствовать захват воздуха из окружающей среды и следовательно параметры газовоздушной смеси будут однородны и независимы от радиального расстояния от оси y.
Радиус этой подобласти определяется выражением l0=y3/n. Среднее значение параметров газовоздушной струи в указанной подобласти находится из (1.12) и (1.13) при условии, что y =y3. Таким образом, стадия II изменения геометрии струи завершится, когда основная часть струи достигает уровня y3. Теперь можно определить время t по формуле (1.12). Объемный расход газовоздушной смеси через сечение y3 равен объемному радиальному расходу этой смеси. Поскольку средние скорости входа и выхода газовоздушного потока в подобласти II’ равны, справедливо соотношение 
. Отсюда при условии что y3=nR3, получим:
. (1.15)
В соответствии с экспериментальными данными для осесимметричных струй n=5. Зная числовые значения радиуса по формуле (1.15) определим l0=
H, что совпадает с экспериментальными данными.
Таким образом, дальнейший процесс распространения газовоздушной смеси будет зависеть от параметров v3(t) и B3(t) в сечении y3.. В подобласти II’ величина B3(t) должна уменьшиться на величину ΔB3(t) в результате охлаждения газовоздушной смеси за счет конвективного теплообмена при ее встрече с преградой, величина v3(t) соответственно на величину Δv3(t) за счет трения газовоздушной смеси с преградой.
При выходе из сечения 1-1’ (рис) струя становится обычной напорной (затопленной) неизотермической полуограниченной струей. Для таких струй основной закономерностью является движение только за счет потока количества движения (архимедовы силы уравновешены потолком).
В связи с указанным, на этом участке избыточную плавучесть B можно представить как пассивную примесь, поток которой вдоль струи останется постоянным. Отсюда следует, что
, где b0=H-y3 = l0/2, или 
(1.16)
Зададимся зависимостью
, (1.17)
где k- коэффициент, подлежащий экспериментальному определению.
После подстановки (1.17) в (1.16) получим
, (1.18)
Зная зависимости v(r) и B(r), из уравнения (1.18) определим k. в соответствии с экспериментальными данными
v(r)~r-5/6 , B(r)~ r–2/3.
Из этого следует, что выражение (1.18) будет соответствовать экспериментальным данным при k+1=5/6+2/3 или k =1/2. Правомерно записать следующие выражения:
при r ≥ lo;
при r ≥ lo; (1.19)
при r ≥ lo;
Поскольку v(r) –радиальная скорость, v(r)=dr/dt. После интегрирования этого выражения получим 11/6(r)11/6= v3l5/6t+c. Постоянную интегрирования с найдем из условия, что r=lo в момент времени t2:
при t ≥ t2; (1.20)
или 
при r ≥ lo; (1.21)