Моделирование процесса воспламенения (2)

 

Моделирование процесса воспламенения для  реакций первого порядка (2)

Полученные результаты будут точными только при    , т. е. при малых разогревах. Поэтому они будут достаточно точны для условия воспламенения; для условия потухания, которое может происходить при значительных разогревах поверхности, точность данного расчета будет меньше.

Воспользовавшись разложением (1.4), и преобразовав (1.3) к безразмерной температуре, приведем его к виду

.

(1.5)

 

Трансцендентное уравнение (1.5) определяет значение θ, отвечающее стационарному разогреву поверхности. Введем для безразмерных параметров, входящих в уравнение (1.6)  обозначения:

    (1.6)

Так как уравнение содержит только эти два безразмерных параметра, то критические условия воспламенения и потухания должны иметь видδкр=F(μ). В принятых обозначениях уравнение (1.5) перепишется как

       или                        (1.7)

Для того, чтобы выяснить общие свойства решений уравнений (1.7), обозначим правую часть его через f(θ). Очевидно, что если f(θ) монотонная функция, то уравнение всегда имеет единственное решение и критические условия отсутствуют. Если же f(θ) имеет экстремумы, то возможно несколько стационарных режимов и точки экстремумов отвечают критическим условиям перехода от одного режима к другому. Таким образом, критические условия воспламенения и потухания должны находиться из уравнения

               (1.8)

Решение этого уравнения дает экстремальное значение θ в функции от μ. Подставив такое значение θ  в уравнение (1.7), получим критические значения δ в функции от μ.  Следовательно, критические условия воспламенения и потухания δкр=F(μ) даются в параметрической форме уравнениями (1.7) и (1.8). Подставив значения μ из (1.8), получаем окончательный вид критического условия в параметрической форме.

                                        (1.9)

Т.к. μ–величина положительная, то θ может принимать все значения от 1 до ∞. Задавая различные значения θ в этих пределах и подставляя в (1.9), получим зависимость между δ и μ, отвечающую критическому условию. Обв введенные нами параметры δ и μ  зависят от скорости реакции и, следовательно, экспоненциально зависят от температуры. Поэтому для конкретных расчетов удобно ввести новый параметр:

                                                       (1.10) не содержащий уже скорости реакции и представить критические условия как зависимость критического значенияδ от параметра ξ. Введем, кроме того, чтобы сделать численные расчеты более удобными, вспомогательную переменную x=exp(-θ), изменящуюся от нуля до  1/e.

Тогда критическое условие в параметрической форме примет вид

               ,                                 (1.11)

Задавая различные значения х от 0 до 1/e, получаем область критических температурных явлений, которую можно представить графически (рис.2, получить). Общие свойства этой области получаются из (1.8) определяющего экстремальные значения θ. Правая часть этого уравнения как функция θ имеет максимум при θ=2, причем этому максимуму соответствует значение μ=1/e2. Следовательно, при μ<1/e2 уравнение (1.8) имеет два решения, при μ>1/e2 ни одного.  Соответственно, при μ<1/e2 f(θ.) имеет два экстремума- максимум и минимум; при μ>1/e2 -ни одного. (Получить рис.3.- вид функции f(θ.) при μ<1/e2). При заданном значении δ решения уравнения (1.7) даются пересечением кривой f(θ.) с прямой, параллельной оси абсцисс и отстоящей от нее на расстоянии δ.

При малых значениях δ (δ1 на рис.3) имеется только одно решение, отвечающее малому разогреву (НТР). При больших  δ =δ5 имеется также одно решение, отвечающее большому разогреву (ВТР). При промежуточных значениях δ =δ3 возможны три решения: θ1 отвечает нижнему температурному режиму, θ2 – верхнему и θ3 – среднему неустойчивому температурному режиму. Если исходя из низкой температуры постепенно увеличивать δ, то НТР невозможен и должен происходить скачкообразный переход к ВТР.  Следовательно, δ =δ4 дает критческое условие воспламенения.

Если, исходя из высокой температуры, постепенно уменьшать δ, то верхний температурный режим будет держаться до значения δ =δ2, которое дает критическое условие потухания.

Как видно, критические условия действительно отвечают экстремумам функции f(θ.).  Если f(θ.)  не имеет экстремумов, то (1.7) имеет всегда одно решение и критические явления отсутствуют.

Чтобы критические явления имели место, необходимо, чтобы μ было меньше 1/e2. Как видно из (1.9), соответствующее зачение δ, будет 4/e2; следовательно, критические условия возможны только при ξ>4, как видно из рис.2. при ξ<4 температура поверхности меняется непрерывно при изменении внешних условий. Напротив, при ξ>4 должен наблюдаться скачкообразный переход из диффузионной области в кинетическую и обратно при критических условиях воспламенения и потухания.

Если тепловой эффект и энергия активации велики, то и параметр ξ  будет весьма велик. Рассмотрим подробнее  этот наиболее интересный предельный случай, когда критические явления наиболее ярко выражены. Из (1.11) видно, что приξ>>1 критическое условие может отвечать либо θ = – lnx ≈ 1  либо θ = – lnx >> 1. В первом случае получаем:

         (1.12)

Это будет предельный вид условия воспламенения при больших значениях ξ. Если же в (1.11) положить – lnx >> 1, то получим предельный вид условия потухания при больших значениях ξ. При этом (1.11) дает ξ.≈ – lnx и

δкр=ξ.2e-ξ.                                (1.13)

При этом для температуры поверхности получается:

θ= – lnx ≈ ξ.                                (1.14)

Этот результат естественен, т.к. при протекании реакции в чисто диффузионной области скорость тепловыделенпя выразтся как Qβc∞ ; приравнивая эту величину скорости теплоотвода получим, что в диффузионной области разогрев равен

Cогласно данному выше определению безразмерной температуры θ , в безразмерном виде этот разогрев примет вид:

               (1.15)

что совпадает с определением параметра ξ.

Таким образом, параметр ξ представляет собой безразмерную максимальную  температуру поверхности, достигаемую в чисто диффузионной области.

 

2. Задания к работе

  1. Получить с помощью Mathcad после аналитических преобразований

       а) Зависимость δкр(ξ.) (рис.2);

б) Графическое решение уравнения (1.7);

 

Рис.2. Критические условия воспламенения и потухания

для реакции первого порядка.

Верхняя кривая- условие воспламенения, нижняя- потухания.

Ниже значения ξ=4 критические условия вырождаются.

 

3. Содержание отчета

1. Название и цель лабораторной работы.

  1. Выводы по результатам исследований.

 

4. Контрольные вопросы

  1. Что такое кинетическая и диффузионная области?
  2. Чем характеризуется процесс воспламенения?
  3. Каковы особенности процесса потухания?
  4. Какой физический смысл параметра ξ?