Численное решение уравнения теплопроводности (2)

Численное решение уравнения теплопроводности (2)

Перепишем уравнения (5) и (6) в виде:

                       (9)

               (10)

Поскольку ui,1, i=1,N+1, и u1,j, j=1,N1+1 заданы равенствами (7) и (8), значения сеточной функции ui,j во всех внутренних узлах могут быть найдены последовательно, слой за слоем, по формуле (9). Поэтому разностная схема (9) называется явной.

Для вычисления значения сеточной функции ui,j на j-м слое по схеме (6) нужно найти решение системы линейных алгебраических уравнений (10) с трехдиагональной матрицей (это можно сделать методом прогонки):

Поэтому разностная схема (6) называют неявной.

Разностная схема (5) устойчива при выполнении условия  . Поэтому она называется условно устойчивой. Чтобы выяснить, с какой точностью найдено решение, проводят вычисления на сгущающихся сетках а

2. Задания к работе

Методом сеток найти решение смешанной задачи (а) или (б) для уравнения теплопроводности:

а)

С начальным условием  , и граничными условиям  u(0,t)=t, взяв h=0,1, .

,  ,

б)

h=0,1

τ=0,005

a= -1,55; b=2,91; c=1,08;   α= 1,0 ; β=1,1.

3. Содержание отчета

1. Название и цель лабораторной работы.

1. Выводы по результатам исследований.

4. Контрольные вопросы

1. Что описывает уравнение теплопроводности?
2. Какие численные методы используются для решения уравнения теплопроводности?
3. Что такое разностная схема?
4. В чем отличие явной разностной схемы от неявной?
5. Что такое методы прогонки?
6. Что такое иитерационные методы?