Руководство к выполнению лабораторной работы
Численное решение уравнения теплопроводности
Цель работы: изучить конечно-разностные методы решения уравнения теплопроводности.
Используемое оборудование и средства: персональный компьютер, пакет Mathcad, Delphi.или MsExcell
1. Краткие теоретические сведения.
Расcмотрим задачу нахождения непрерывной на замкнутом прямоугольнике 
функции u(x,t), удовлетворяющей уравнению теплопроводности
(1)
а также начальному условию
u(x,0)=
(x) (2) и краевым (граничным) условиям:
u(0,t)=p(t), u(l,t)=s(t) (3)
где f (x, t) (функция источнка),
(x), p(t), s(t)- заданные, достаточное число раз дифференциируемой функции, удовлетворяющие равенствам 
(0)=P(0), 
(l)=s(0).
Задача (1-3) называется смешанной, т. к она содержит как начальное, так и краевые условия.
2. Методы конечных разностей.
Частные производные заменяются соответствующими разностями. Разобьем отрезки [ 0,l] оси х и [0,T] оси t соответственно на N и 
равных частей и введем обозначение 
, и 
(риc.1). Через точки деления проведем прямые, параллельные соответствующим осям. В результате область 
разобъется на прямоугольники с вершинами (x
,t
), где 
, i=1,N+1; 
, j=1,N1+1 (рис.1). Множество вершин прямоугольника называют сеткой, а отдельные вершины –узлами сетки. Узлы, имеющие одинаковый индекс j, образуют j-ый слой. Числа h и 
называют шагами сетки по переменным х (пространственной) и t (временной).
В каждом внутреннем узле сетки 
:
u
u
= 
=
=
Аналогично
u’t
:
В каждом узле сетки производные заменим разным отношением
(
)
, (4)
а 
где 
Заменяя производные, входящие в ур. (1), разностным отношением, получим конечно- разностные уравнения:
(5)
(6)
аппроксимирующие уравнение (1) в узле сетки (
) с погрешностью порядка о(h2+τ)
Для получения решения (5) была использована конфигурация узлов, изображенной на рис.2, а для уравнения (6) –конфигурация, изображеная на рис.3. Эти конфигурации узлов называют шаблонами.
Начальные и граничные условия определяют значения сеточной функции в граничных узлах: ui,1=
i , j=1,N1+1, (7)
u1,j = pj, u N+1.j=sj, j=1, N1+1 (8)