методы оценки погрешностей прямых и косвенных измерений – ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Методика проведения исследований

1. Теория лабораторной работы

1.1. Методы измерений. Инструментальные и методические погрешности измерений

Измерение физической величины – это эксперимент, который включает в себя следующие процедуры:

  • выделение измеряемой физической величины (ФВ) из многих других;
  • преобразование измеряемой ФВ в другую ФВ, более удобную для восприятия, связанную с первой однозначно;
  • сравнение преобразованной ФВ с мерой.

В данной лабораторной работе измерения проводятся как прямым, так и косвенным методами.

Прямое измерение сводится к сравнению измеряемой ФВ с мерой.

Косвенное измерение сводится к определению искомого значения ФВ на основании результатов прямых измерений других ФВ, функционально связанных с искомой ФВ. Эта связь дается математической моделью.

 

Все методы сравнения с мерой можно разделить на два метода:

1. Метод непосредственной оценки (измерение длины с помощью линейки, измерение тока с помощью амперметра и т.п.).

2. Разностный метод (взвешивание груза на весах с использованием гирь, измерение ЭДС компенсатором или потенциометром т.п.).

Разностный метод называется нулевым, если разность между измеряемой ФВ и мерой равна нулю.

Достоинствами нулевых методов являются:

  • минимум мультипликативной погрешности;
  • полная компенсация измеряемого сигнала не только на входе измерительного прибора, но и в объекте измерения (в случае измерения активных физических величин (ЭДС, ток)). От объекта измерения не отнимается энергия, необходимая для измерения, и взаимодействие средства и объекта измерения минимально.

В настоящей работе встречаются следующие виды погрешностей:

Инструментальная погрешность используемых приборов.

Инструментальная погрешность штангенциркуля берется из паспорта прибора (см. Приложение 2).

Инструментальная погрешность лабораторных весов представляет собой погрешность нуля весов, т.е. наименьшее значение массы, которое выводит их из равновесия. Эта погрешность зависит от массы взвешиваемого объекта. Для исследуемого тела погрешность весов∆0m, в общем случае должна отличаться от аналогичной погрешности ∆0M для эталонного тела.

В данной работе эти погрешности находятся экспериментально. Эти погрешности обусловлены сухим трением, присутствующим в весах.

Замечание. В лабораторных весах также присутствует погрешность, обусловленная неравноплечностью коромысла весов, но ввиду того, что величина ее незначительна, в рамках данной работы она не рассматривается.

Инструментальная погрешность используемых гирь ∆mгирь (∆Мгирь) дается ГОСТом (см. Приложение 2).

Методическая погрешность измерений.

Методическая погрешность – это погрешность теоретической модели объектов измерения. Она обусловлена погрешностями физической модели и математической модели.

Рассмотрим сначала физическую модель.

1.2. Построение физической модели

При построении физической модели необходимо в системе материальных объектов выделить и описать физические тела, поля, условия движений и взаимодействий, ввести понятия характеризующие свойства объектов, и указать или сформулировать физические законы, описывающие связь между этими понятиями.

В соответствии с этим, при построении физической модели можно выделить 3 этапа:

1. Моделирование поля и вещества

2. Моделирование условий движения и взаимодействий в рамках выбранных моделей поля и вещества.

3. Формулировка физических законов, описывающих состояние, движение и взаимодействие объектов, входящих в рассматриваемую физическую систему.

Пусть исследуемое тело напоминает собой конус, сечение которого, перпендикулярное оси, представляет собой овал, близкий к кругу, а сечение вдоль оси– треугольник (рис.1). Внизу тела имеется фаска.

Будем считать, что это тело имеет правильную осесимметричную форму. Поэтому в качестве модели тела возьмем круговой конус высотыh, радиус основания конуса будем считать равным r1. Радиус и высоту фаски будем считать равным r2. и h1, соответственно.

Физическая модель конуса:

1. Моделирование поля и вещества.

  • вещество тела – абсолютно твердое, однородное;
  • тело – круговой осессиметричный конус;
  • поле – гравитационное, однородное.
  • влияние других полей (электрического магнитного) отсутствует.

Таким образом, на этой стадии создания физической модели мы пренебрегли наличием фаски в основании конуса.

Гравитационное поле считаем однородным, поскольку, в пределах размеров тела и весов g=const. При используемых средствах измерений не представляется возможным установить имеющуюся неоднородность гравитационного поля.

2. Физическая модель условий взаимодействия:

В весах присутствует сухое трение. Оно обуславливает погрешность нуля весов.

В процессе измерений температура конуса остается постоянной.

В эксперименте имеет место взаимодействие, тел, весов, гирь и Земли. Это взаимодействие осуществляется посредством сил гравитационного притяжения.

3. Физические законы, описывающие взаимодействие тел.

Взаимодействие между рассматриваемыми телами и Землей подчиняется закону Всемирного тяготения.

Сухое трение подчиняется закону Кулона.

1.3. Построение математической модели

Построенные выше физические модели необходимо описать с помощью символов в виде математических формул и уравнений. Эти символы – параметры объектов (они же обозначают физические величины) – связаны между собой в виде физических законов.

Совокупность формул и уравнений, устанавливающих связь между этими параметрами (физическими величинами) на основе законов физики и полученных в рамках выбранных физических моделей, будем называть математической моделью объекта или процесса.

Процесс создания математической модели включает в себя составление формул и уравнений, описывающих состояние, движение и взаимодействия объектов в рамках выбранных физических моделей, и их решение и исследование. Основным вопросом здесь является решение так называемой прямой задачи, т.е. получение теоретических следствий и численных данных. В конце производится выяснение того, согласуются ли результаты анализа и вычислений с результатами измерений в пределах точности последних. Отклонение результатов расчётов от результатов измерений свидетельствует:

-либо о неправильности применённых математической модели и методов расчета;

-либо о неверности принятой физической модели;

-либо о неверности процедуры измерений.

 

Математическая модель объектов и погрешностей измерения:

– объем исследуемого тела,

– масса исследуемого тела;

– плотность исследуемого тела,

где r1, h– размеры исследуемого тела;

M – масса эталонного тела.

Методическая погрешность косвенного измерения массы конуса связана с тем, что мы в формуле для mкос пренебрегли наличием фаски в основании конуса. Будем считать, что фаска представляет собой усеченный круговой конус и выполнена под углом 45 градусов (рис.1). Объем и масса этой фаски, соответственно, равны:

;

.

Величина ρ нам не известна. Значение ρ, в принципе, мы можем узнать из справочника, если известен материал, из которого изготовлено тело. В данном случае – это бронза 617–39–литейная. Однако в ГОСТе значение ρ дано довольно грубо (согласно ГОСТ 865-88, значение плотности бронзы г/см3). Мы попробуем определить значение ρ точнее, взвесив и определив объем другого тела. В качестве этого другого тела выберем образец простейшей формы – прямоугольный цилиндр (эталонное тело). Это позволит заведомо свести методическую погрешность измерения плотности к минимуму.

– объем эталонного тела,

где rэт, hэт размеры эталонного тела.

– погрешность плотности эталонного тела,

где Δrэт, Δhэт погрешности измерении размеров эталонного тела,

ΔM – погрешность весов при измерении эталонного тела,

Δρ – погрешность плотности.

– погрешность измерения массы косвенным методом,

где Δr, Δh– погрешности измерении размеров исследуемого тела.

С учетом предыдущей формулы:

Замечание. В этой формуле не учтена методическая погрешность. Она будет учтена позже.

2. Экспериментальные исследования

 

2.1. Определяем массу конуса методом прямых измерений на лабораторных весах:

m0пр=124.220 г.

2.2. Определяем геометрические размеры конуса штангенциркулем:

r1=1.85 см, h=4.08 см.

2.3. Определим высоту фаски: h1≈0.005 см.

2.4. Определим радиус фаски: r1 – r2=0.05 см.

 

 

2.4. Определим массу М эталонного тела взвешиванием:

М = 123.615 г.

2.5. Определим геометрические размеры эталонного тела:

rэт=1.41 см, hэт=3.54 см.

2.5. Погрешности нуля весов Δ0m и Δ0M определим по наименьшему значению массы, которое выводит указатель равновесия на одно деление шкалы из среднего положения.

Ввиду того, что массы эталонного тела и исследуемого тела отличаются мало между собой, погрешности ∆0m и ∆0M оказались, примерно, одинаковыми:

∆0m = 5 мг,

∆0M = 5 мг.

Полученные в экспериментальной части результаты заносим в таблицу 2а.

3. Расчеты

 

3.1. Расчет погрешности прямого измерения массы исследуемого тела

 

Погрешность измерения массы исследуемого тела с учетом погрешностей весов и гирь найдем из формулы (см. Приложение 3):

∆mпр =

где

.

Тогда

мг.

(См. таблицу 1 ниже и таблицу 3 в Приложении 2)

При этом искомая погрешность:

∆mпр =г.

Т.к. (см. Приложение 3) при записи погрешности следует округлять ее величину до двух цифр, если первая из них является единицей, и до одной цифры во всех остальных случаях, то в предыдущем результате мы оставили две цифры.

В итоге, масса рассматриваемого конуса при прямом измерении:

mпр=m0пр+∆mпр=(124.220±0.012) г.

Аналогично находим погрешность измерения массы эталонного тела с учетом погрешностей весов и гирь:

где

Тогда

мг.

(См. таблицу 1 ниже и таблицу 3 в Приложении 2)

 

Таблица 1

Масса гири, г

100

20

1

2

0.1

0.02

0.01

Погрешность, мг

5

2.5

1

1.2

0.5

0.3

0.25

 

Искомая погрешность:

г.

 

3.2. Анализ формулы погрешности косвенных измерений массы исследуемого и эталонного тел

 

Из полученных результатов найдем относительные погрешности измерений длины и массы:

; ;

; ;

.

Так как все размеры измеряли одним средством измерения – штангенциркулем, то принимаем Δr1=Δh=Δrэт=Δhэт=±0.06 мм.

Формула погрешности косвенных измерений массы конуса имеет вид

.

Из этой формулы видно, что, поскольку размеры эталонного и исследуемого тел одного порядка и значения соответствующих относительных погрешностей отличаются не существенно, имеет смысл проводить измерения размеров обоих тел одним и тем же прибором, например, или штангенциркулем, или микрометром. Не имеет смысл проводить измерения размеров одного из тел более точным прибором, чем другого тела, т.к. в этом случае более высокой точности вычисления массы тела мы не добьемся (значение при этом существенно не изменится).

Измерение массы M можно проводить, в принципе, гораздо точнее, чем на лабораторных весах. Например, это можно сделать на аналитических весах. Однако, значение слагаемого существенно меньше остальных слагаемых, расположенных в этой формуле справа. Поэтому также не имеет смысла измерять M точнее, чем это было сделано.

Погрешность Δπ числа π – это методическая погрешность, связанная с конечностью числа разрядов в записи этого числа. В принципе, число можно записать с любым числом знаков после запятой. Однако, если число знаков мало, то мы внесем недопустимую погрешность при вычислении . Поэтому значение π  выберем так, чтобы величина была, примерно, на порядок меньше, чем минимальное из слагаемых в сумме . После этого про погрешность можно забыть. Тогда из условия , учитывая, что π≈3.14159265≡π1, получим, что в качестве значения этого числа надо взять π≈3.141≡π2. Действительно, в этом случае .

3.3. Определение плотности тела и погрешности плотности

 

Плотность тела

.

Погрешность плотности тела найдем из формулы:

.

Тогда:

Δρ=0.010∙8.531056≈0.08.

 

 

3.4. Определение массы исследуемого тела методом косвенных измерений

 

,

где V-объем конуса, равный:

см3.

Тогда

mкос=8.53∙14.62≈124.708 г.

3.5. Расчет методической погрешности косвенного измерения массы исследуемого тела

Исходя из полученной выше формулы, , найдем, что

.

Отметим, что эта погрешность не случайная и имеет вполне определенный знак! В данном случае это знак «минус» (подумайте, почему?).

3.5. Расчет случайной погрешности косвенного измерения массы исследуемого тела

Формула погрешности косвенных измерений массы конуса имеет вид. Отбрасывая малые слагаемые, о которых говорилось выше, имеем:

Тогда ∆mкос = 124.708·0.018≈2 г – случайная погрешность измерения массы путем косвенных измерений.

Полученные в расчетной части результаты заносим в таблицу 2б.

Таблица 2а

mпр,г

r1,см

h,см

Δmпр,г

M, г

rэт,

см

hэт,

см

h1,

см

124.22

1.85

4.08

0.01

123.615

1.41

3.54

0.05

 

Таблица 2б

Δ0m, г

Δ0M, г

ρ, г/см3

Δρ, г/см3

mкос, г

Δmкос, г

, г

0.005

0.00011

8.53

0.08

124.71

2

– 0.20

Погрешность (она же – систематическая погрешность косвенного измерения массы) оказалась на порядок меньше случайной погрешности. Поэтому систематической погрешностью можно пренебречь.

Сравнивая значения массы тела, полученные при прямом и косвенном измерениях

mпр=(124.220 ± 0.012) г,

mкос=(124 ± 2) г),

делаем вывод о том, что прямой метод измерения массы существенно (на два порядка) более точный, т.к. Δmпр, находится до сотых грамма. Большое значение Δmкос объясняется применением штангенциркуля. Снизить эту погрешность примерно на порядок можно, используя микрометр. Большое расхождение в значащих цифрах прямого и косвенного измерений массы связано с большой методической погрешностью косвенного измерения массы.

Замечание. Найденное нами значение погрешности плотности Δρ (0.08 г/см3) почти в два раза ниже значения погрешности плотности, указанного в ГОСТе (0.15 г/см3). Очевидно, что, используя в качестве средства измерения микрометр, можно снизить значение Δρ еще на порядок.