Примеры расчета тепловых флуктуаций механических величин

Примеры расчета тепловых флуктуаций механических величин

Скорость свободного тела

Будем рассматривать свободное твердое массой m как подсистему, находящуюся в тепловом контакте с окружающей средой, которую в таком случае называют тепловым резервуаром или термостатом. Окружающую среду практически всегда можно выбрать такой, что тело и резервуар допустимо считать замкнутой системой, имеющей температуруТ.

Любое тело характеризуются импульсом р своего макроскопического движения относительно среды. В состоянии равновесия никакого макроскопического движения нет, т.е.р =0. Движение, однако, может появиться в результате флуктуации. Определим вероятность такой флуктуации. Минимальная работа, необходимая, для того, чтобы сообщить телу импульср , равна изменению кинетической энергии тела. Поскольку в состоянии равновесия движения нет, то начальное значение кинетической энергии равно нулю. Поэтому работа внешних сил равна просто кинетической энергии тела, которую оно приобретает в результате флуктуации: , где vx – проекции скорости макроскопического движения. Отсюда и из основной формулы (3), учитывая, что в данном случае физическая величинаx это проекция скорости тела vx, найдем, что флуктуация скорости тела . Причина движения (дрожания) тела – тепловое движение окружающих тело молекул среды и столкновение этих молекул с телом. Это ничто иное, как броуновское движение.

 

Колебания математического маятника

Найдем теперь средний угол случайных отклонений свободно висящего математического маятника. Работа, необходимая для отклонения маятника от положения равновесия на малый уголj, определяется формулой . Отсюда и из формулы (3) найдем, что среднее квадратическое значение угла случайных отклонений свободно висящего маятника .

Обратим внимание, что в этом случае, как и в предыдущем, величина этих флуктуаций не зависит от параметров внешней среды, будь то вакуум, воздух или густое масло.

Повороты упруго подвешенного зеркальца

Одним из простейших и наиболее чувствительных приборов является легкое зеркальце, подвешенное на тонкой, обычно кварцевой, нити. Примером такого устройства является зеркальный гальванометр.

Чувствительность зеркального гальванометра определяется возможностью регистрации весьма малых углов поворота зеркальца на нити. Предел (или порог) чувствительности, т. е. наименьшие углы поворотаφ , которые могут быть зарегистрированы при однократных измерениях, определяются тем, что они должны быть больше, чем колебания зеркальца, вызванные тепловым движением молекул окружающей среды и нити. Это тепловое движение приводит к случайным поворотам подвешенного зеркальца на углы, величина которых характеризуется значением дисперсии или среднего угла поворота. Вычислим эту величину.

Для того, чтобы зеркальце «случайно», т. е. под действием молекулярного теплового движения окружающей среды, отклонилось от равновесного положения на некоторый уголj , необходимо, чтобы была произведена работа против упругих сил нити. Эта работа производится за счет энергии теплового движения молекул окружающей среды. При малых углах работа внешних сил, необходимая для выведения зеркальца из положения равновесия , где а – крутильная жесткость нити (, r – радиус нити, l – ее длина и G – модуль сдвига нити). Таким образом, .

Пример: при T = 300°К и а =10-13 Дж (таким значением параметра а обладают очень тонкие кварцевые нити) имеем рад = 40 угл. сек. Эта величина определяет угол, на который в среднем поворачивается зеркальце «само по себе».

Смещения пружинных весов

Совершенно аналогичные результаты могут быть получены для пружинных весов.

Тепловое движение  молекул механизма весов и окружающей среды будут приводить к тому, что нагрузка весов будет хаотически изменяться. Это изменение нагрузки будет компенсироваться упругой силойcx, где c – коэффициент жесткости пружины. Работа, совершаемая при малом смещении x, равна . Тогда среднее случайных отклонений груза от положения равновесия . Измерение массы m на весах возможно, если вызываемое ее весом растяжение пружины больше флуктуаций длины пружины. Растяжение пружины грузом m равно . Поэтому предельно малая масса, которая может быть найдена при однократном измерении, .

Тепловые флуктуации в электрическом колебательном контуре

Вследствие хаотического (теплового) движения электронов в цепи контура в нем будут возникать флуктуации тока и напряжения. Воспользуемся основной формулой , где х — ток или напряжение в цепи; – работа, которую нужно совершить, чтобы создать ток или напряжение.

Если в результате флуктуации возникает ток, то работа на создание этого тока связана с созданием магнитной энергии этого тока в катушке: . Если рассматривать флуктуацию заряда или напряжения на конденсаторе, то , где — напряжение на конденсаторе. Из этих формул найдем среднее квадратичное значение тока в цепи и напряжения на конденсаторе: , . Отсюда следует, что флуктуация не зависит от сопротивления резистора R.

Из рассмотренных примеров следует, что величина флуктуаций, описываемая дисперсией  или значением средних квадратов флуктуаций параметров,зависит только от температуры окружающей среды и параметров системы . Этот результат представляется удивительным, поскольку эти флуктуации ни как не зависят от параметров среды. Дисперсии случайных отклонений здесь оказались не связанными с механизмом флуктуаций– хаотическим движением молекул окружающей среды. В частности, в случае зеркальца, подвешенного на упругой нити, результат будет одинаковым и для зеркальца, висящего в густом масле, и для зеркальца, висящего в разреженном воздухе! Этот парадокс находит свое объяснение при рассмотрении спектральной плотности флуктуаций, т.е. распределения энергии флуктуаций по частоте.

Корреляционная функция и спектральная плотность мощности шума

Корреляционная функция является детерминированной характеристикой случайного процесса (шума), которая связывает значение случайной величины (сигнала) x(t1) в данный момент времени t1 со значением этой величины (сигнала) x(t2) в любой более поздний момент времени t2 = t1 + τ.

Для стационарного случайного сигнала выбор конкретного значения момента времени t1 не имеет значения. Здесь имеет значение лишь значение τ.

Корреляционная функция К(t) определяется как среднее значение произведения случайных величин в рассмотренные моменты времени: , где Т – время наблюдения.

Для стационарного случайного процесса корреляционная функция зависит только от одного аргумента — временного интервала t.

Для одинаковых моментов времени t1=t2 (t= 0) корреляционная функция, как это следует из формулы (1), с учетом того, что среднее значение <x(t)>=0, совпадает с дисперсией случайного процесса: .

В определении функции К(t) фигурирует квадрат сигнала x(t). Квадраты сигналов пропорциональны интенсивности или мощности соответствующих физических величин. Поэтому корреляционная функция характеризует интенсивность случайного процесса.

Исследователей интересует не только вопрос интенсивности флуктуаций, но и реакция приборов на эти флуктуации. Как известно, реакция прибора на любой сигнал может характеризоваться частотной характеристикой прибора, или его переходной характеристикой, или его импульсной характеристикой. Эти характеристики однозначно связаны между собой. Очевидно, что достаточно знать одну из них.

Внутренний шум, как правило, представляет собой хаотически изменяющийся сигнал, многократно изменяющий свою величину и (или) знак за время измерений. В этом смысле он напоминает периодический сигнал. Поэтому его взаимодействие с прибором удобно сравнивать с взаимодействием прибора с периодическим сигналом. Это взаимодействие, чаще всего, описывают, используя понятия “частотная характеристика прибора” и “спектральная плотность сигнала”. Спектральная плотность сигнала находится с помощью преобразования Фурье. Зная частотную характеристику прибора и спектральную плотность сигнала на его входе , можно очень просто найти спектральную плотность сигнала на выходе прибора, умножив одну на другую: (см. рис.).

Далее, взяв обратное преобразование Фурье от функции , можно установить зависимость сигнала от времени на выходе прибора: .

В связи с этим можно ставить вопрос о спектральной плотности шумового сигнала. К сожалению, для случайных сигналов x(t). преобразование Фурье не существует, поскольку не существует интеграл . Однако, существует преобразование Фурье для квадратов случайных сигналов – x2(t). И поскольку квадраты сигналов пропорциональны мощности соответствующих физических величин, то можно говорить о спектральной плотности мощности соответствующих сигналов. Эту функцию будем обозначать как . В этом случае связь между спектральными плотностями мощности шумовых сигналов на выходе и входе прибора дается равенством .

Спектральная плотность S2(w) мощности шума тоже является детерминированной характеристикой случайного процесса и определяется как прямое преобразование Фурье корреляционной функции: . Используя обратное преобразование Фурье, отсюда можно выразить спектральную плотность шумового сигнала через спектральную плотность мощности: .(5). Из предыдущих формул найдем: . Отсюда и из (2) следует очень важная формула, связывающая дисперсию случайной величины x со спектральной плотностью соответствующего случайного процесса:

.

Из этой формулы следует, что дисперсия шума является интегральной характеристикой интенсивности случайного процесса, усредненного по бесконечному частотному интервалу.

Замечание! Приведенная выше спектральная теория шумов годится не только для тепловых флуктуаций, но и для стационарных шумов любой природы.