флуктуационно-диссипационная теорема

флуктуационно-диссипационная теорема

Теория равновесных флуктуаций, представленная выше, нашла свое завершение в виде флуктуационно-диссипационной теоремы (ФДТ), сформулированной в 1951—1952 гг.

Физическое содержание этой теоремы заключается в следующем.

Рассмотрим замкнутую систему, находящуюся в равновесном состоянии. Пусть, в результате флуктуации, какая-то часть системы – ее подсистема – была выведена из положения равновесия. Очевидно, что для этого подсистема должна получить дополнительную энергию от остальной части системы за счет их взаимодействия. Поскольку вся система замкнута, при возвращении подсистемы в положение равновесия она должна отдать эту энергию обратно. Это возможно только при наличии процессов диссипации (трения) в системе.

 

Если диссипация энергии в системе отсутствует, в ней не может быть равновесия.

Следовательно, статистическое равновесие предполагает наличие диссипации. Например, маятник, выведенный толчком из положения равновесия, может вернуться в исходное неподвижное состояние только при наличии трения.

Количество энергии, возвращаемое подсистемой, пропорционально коэффициенту трения (диссипации) и зависит от динамических свойств подсистемы. Поскольку вся система в целом изолирована и ее полная энергия остается постоянной, то, следовательно, количество энергии, получаемое подсистемой при флуктуации так же должно быть пропорционально коэффициенту диссипации в подсистеме.

Таким образом, ФДТ связывает интенсивность тепловых флуктуаций (точнее спектральную плотность мощности) подсистемы с коэффициентом диссипации и динамическими свойствами этой подсистемы.

Формулы Найквиста

Электроны, находясь в проводящей среде, испытывают со стороны этой среды беспорядочные толчки, как и броуновская частица. Под действием этих толчков они совершают такое же беспорядочное движение. Чем интенсивнее эти толчки, тем более беспорядочным становится движение электрона, тем труднее электрону двигаться в направлении, задаваемым внешним электрическим полем, и тем больше тогда электрическое сопротивление среды. Поскольку электроны обладают зарядом, то, даже в отсутствие внешнего электрического поля, это беспорядочное движение приводит к появлению хаотического тока, среднее значение которого, естественно, равно нулю. Однако дисперсия этого тока и его спектральная плотность отличны от нуля.

Найквист, анализируя это движение в резисторе с сопротивлением R, в 1927 году получил выражение для спектральной плотности мощности хаотического напряжения, возникающего на концах разомкнутого резистора в следующем виде: . Если резистор замкнуть, то в его цепи возникнет беспорядочный ток. Спектральная плотность мощности этого тока имеет следующий вид: .

Замечание. При отсутствии реактивных элементов в цепи (емкости или индуктивности) спектральная плотность теплового шума остается постоянной вплоть до частот порядка 1012 Гц. Флуктуации с постоянным (однородным) шумовым спектром часто называют “белым шумом”.

Приведенные формулы получили название формул Найквиста. Впервые тепловые шумы измерил в 1927 году Джонсон. Этот вид шумов был предсказан Эйнштейном именно на основании анализа броуновского движения электронов.

Зная спектральную плотность напряжения или тока, можно найти их среднеквадратические значения в полосе частот Δf=f2–f1:         ,           .

Поскольку спектральная плотность в формуле Найквиста постоянна, то и . Эти формулы также называют формулами Найквиста.

Проведем численную оценку результата измерения напряжения на разомкнутом резисторе. Пусть R=1МОм , Т=3000С и Δf =100Гц. Поскольку k=1,38⋅10-23Дж/K, найдем Uш ≈ 1,3⋅мкВ. Это – вполне заметная величина.

Легко видеть, что, измеряя шумовое напряжение, можно определить и температуру резистора. На этом принципе в настоящее время создано целое направление в измерительной технике– шумовая термометрия. Отметим, что совсем недавно американские ученые создали прибор для измерения сверхнизких температур с рекордной точностью, на основе измерения тепловых шумов тока, проходящего через контакт двух металлов.

Спектральная плотность флуктуации напряжения и тока в колебательном контуре

Представим, что колебательный контур представляет систему, на входе которой действует источник шума (генератор случайного напряжения), спектральная плотность мощности которого дается формулой Найквиста. Источником шума является резистор.

Как было выше показано, . Поскольку и

, где , , нетрудно найти, что спектральная плотность мощности флуктуаций тока в контуре

.

Это уже не белый шум, а, как говорят, спектрально окрашенный. При ω→∞ спектральная плотность , т.е. тепловой шум уменьшается. Это происходит в любых электрических цепях, поскольку все они обладают индуктивностью и емкостью. Дисперсия этого шума . Это значение, как и следовало, ожидать, совпадает со значением, вычисленным выше.

Энергетическая мощность электрических шумов, выделяемая в резисторе в некотором интервале частот, может быть вычислена путем интегрирования спектральной плотности мощности в этом интервале. По аналогии с формулой , учитывая ее квадратичный характер относительно тока, мощность, выделяемая в резисторе в полосе частот от f1 до f2, будет равна . Точно так же, если исходить из формулы , эту мощность можно подсчитать по формуле . В обоих случаях мощность ΔW=4kTΔf. В равновесной системе эта мощность поступает в резистор из окружающей среды и возвращается обратно.

Эквивалентная температура нетепловых шумов

В большинстве случаев пороговая чувствительность приборов и установок ограничивается не тепловым, а каким-либо другим источником шума (электронными шумами, механическими вибрациями). Например, при измерениях силы тяжести с помощью пружинных весов помехи вносят вибрации от проезжающего транспорта, сейсмические колебания почвы и т.п. В результате действия этих вибраций пружинные весы будут совершать колебания, в основном, на частоте, совпадающей с частотой собственных колебаний.

С целью наглядности и возможности сравнения с тепловыми шумами, интенсивность шумов нетепловой природы можно также характеризовать некой эквивалентной температурой, при которой эти шумы были бы сравнимы с тепловыми шумами. Для этого энергию колебанийW выражают в единицах эквивалентной температуры Tэкв с помощью равенства , где k = 1,38⋅10-23 Дж/K – постоянная больцмана. Здесь <W> – средняя энергия шумов нетепловой природы.

Оценим, например, величину эквивалентной температуры лабораторного стола с массой m =100кг, совершающего вибрации с частотой f =100 Гц и с амплитудой а=10-8 см. Для этого вычислим кинетическую энергию колебаний стола и выразим ее в единицах температуры. Будем считать, что стол совершает гармонические колебания по закону . Тогда линейная скорость колебаний: . Учтем, что w=2pf. Среднее значение кинетической энергии колебаний . Отсюда найдем: . Численный расчет дает Tэкв=3,6 1010 К.

Отметим, что построенный выше математический аппарат может быть использован для анализа шумов любой природы с известной спектральной плотностью мощности.