СИ с мультипликативной погрешностью

СИ с мультипликативной погрешностью

Эта погрешность связана со случайными изменениями наклона функции преобразования. В этом случае сигнал на выходе СИ имеет вид: , где – относительная мультипликативная погрешность.

Найдём ширину полосы неопределённости в этом случае. При фиксированном значении выходного сигнала y, вследствие неопределенности ΔK значения K, это значение y  реализуется при двух значениях х: и . Отсюда найдем , .

Тогда ширина полосы неопределенности .

Будем считать, что . Тогда , и относительная мультипликативная погрешность (см. рис.).

Относительная мультипликативная погрешность остаётся постоянной при любых x, но такой идеальный случай практически не осуществим, т.к. нет СИ без аддитивных погрешностей.

СИ с аддитивной и мультипликативной погрешностями

В этом случае выходной сигнал имеет вид: . Пусть, как и выше, относительная мультипликативная погрешность . Из рисунка видно, что границы полосы неопределенности задаются уравнениями

Ширина полосы неопределенности . Относительная погрешность данного СИ . Эту погрешность будем называть погрешностью вида III. Вид полос погрешности в данном случае имеет вид, показанный на втором рис.

В выше рассмотренных случаях речь шла об измерении малых величин и рассмотренные зависимости характерны для узкодиапазонных СИ.

При больших хк оказывается, что погрешность может неограниченно расти, как и при . Поэтому точное измерение больших величин оказывается такой же трудной задачей, как и измерение малых величин.

Измерение больших величин

Что такое большие и малые измеряемые величины? Рассмотрим этот вопрос на примере измерения электрического сопротивления с помощью моста постоянного тока.

На рисунке ИР – индикатор равновесия, R0 – образцовое сопротивление, R1 и R2 сопротивления плеч реохорда, l1 и l2 – длины плеч реохорда.

Условие равновесия моста в данном случае имеет вид , откуда .(1).        Очевидно, что , (2),        причем l1+l2=L=const. (3). Из (1) и (2) следует, что . Логарифмируя и дифференцируя это выражение, получим: , где — погрешность оценки сопротивления Rx, — погрешность образцового сопротивления R0, — погрешности измерения длины.

Из (3): , и (4), найдём: (5), – относительная погрешность измерения.

Очевидно , . Можно записать (5) в виде: . Учитывая, что L=l1+l2, после простого преобразования, получим .

Из (1) и (2) следует, что , из предыдущего выражения, получим

(6)

Из (6) следует, что как при Rx→0, так и при Rx→∞.

Учитывая, что резистор R0 образцовый, его погрешностью можно пренебречь. Тогда формула (6) запишется в виде (7)

Эта формула позволяет вычислить относительную погрешность измерений как больших, так и малых величин.

Найдём вид полосы неопределённости. Поскольку, с учетом знаков абсолютной погрешности, сигнал на выходе нашего СИ, приведенный к входу,, вид полосы неопределенности определяется следующими соотношениями: (8).

Поскольку абсолютная погрешность , из формулы(7), пренебрегая величиной , имеем . (9). Учитывая (8), найдем максимальный и минимальный сигналы на выходе: (10).

Функция – парабола, ветви которой обращены вверх. В свою очередь, (11).Функция – парабола с ветвями, обращенными вниз. На графике зависимости параметр d – ширина полосы неопределенности Rxмакс и Rxмин — максимальное и минимальное значения, которые еще могут быть измерены.

При Rx=Rxмакс и Rx=Rxмин погрешность ΔRx=ΔRx max=Rx, так что γRx=1 (или γRx=100%) и .

Ширина полосы неопределенности d определяется по формуле        (12) Функция d(Rx) – парабола. Обозначим в формуле (7) , тогда . Проведем анализ этой формулы. Сначала найдем минимум функции , взяв производную по х. Найдем, что при х=1 . Найдем максимально и минимально возможные значения х. Они находятся там, где . Из этого равенства имеем . Обычно . Решая квадратное уравнение, получим .

Т.к. при a<<1, где , выполняется соотношение , получим:. Отсюда следует, что и , где и – погрешность реохорда. Отсюда легко найти минимальное и максимальное значения Rx, которые можно измерить с погрешностью ≤100%. Таким образом, значения следует отнести к большим значениям, а значения – к малым.

Значение – это нижний порог чувствительности данного СИ, значение – это верхний порог чувствительности СИ.

Обобщим полученные результаты. Пусть в формуле (7) – любая величина, подлежащая измерению. Будим считать, что:

— погрешность чувствительности,

– нижний порог чувствительности,

– верхний порог чувствительности,

– погрешность СИ.

Подставляя эти обозначения в формулу (7): , получим универсальную формулу для расчета статических погрешностей СИ:

, (13), где – абсолютная погрешность прибора (сдвиг нуля), – погрешность чувствительности (погрешность наклона функции преобразования) или мультипликативная погрешность.

Формулы статических погрешностей средств измерений

Рассмотрим погрешность, определяемую формулой (13) предыдущего раздела:

.        (1) Эту формулу называют трёхчленной формулой. Если измеряемая величина х мала, так что , последним слагаемым можно пренебречь по сравнению с остальными и формула статической погрешности примет вид .(2). Формула (2) описывает погрешность прибора с полосой погрешности вида III, эту формулу называют двучленной. Обычно эту формулу записывают в другом виде, исходя из следующих соображений.

Оказывается, что легче всего измерять погрешность СИ в начале шкалы (при х=0) и в конце шкалы (при x≈xk). В первом случае, поскольку в начале шкалы, т.е. при , погрешность. Поэтому относительную погрешность прибора описывают приведенной погрешностью прибора.

В конце шкалы, т.е. при x≈xk, из (2) имеем . Используя эти результаты, формулу (2) представим в виде:

.

Т.о. двучленная формула принимает следующий вид: .

Эта формула справедлива для . При ей пользоваться нельзя.

По ГОСТу обозначение класса прибора с двучленной формулой основной погрешности даётся в виде отношения , где числитель и знаменатель (их не делят друг на друга !! ) выражают в процентах.

Для приборов, у которых основной погрешностью является аддитивная погрешность (сдвиг нуля), т.е. , мультипликативной погрешностью пренебрегают. В этом случае из формулы (2) следует: , т.е. для приборов, у которых основной погрешностью является аддитивная погрешность, формула расчета погрешности оказывается одночленной. В качестве класса точности приборов с такой погрешностью даётся значение , выраженное в %.