3.3 Бесконтактное измерение электропроводности

3.3 Бесконтактное измерение электропроводности.

О­дин из методов бесконтактного измерения электропроводности в про­воднике, находящемся в переменном магнитном поле.

Используя метод дифференциального трансформатора, с помощью фазоизмерительного устройства определяют частотную зависимость фазового сдвига меж­ду переменным внешним магнитным полем и намагниченностью образца, помещенного в это поле, а затем, проведя обработку экспериментальных данных, вычисляют удельную проводимость различных металлов и спла­вов.

Все металлы и их сплавы содержат электроны проводимости и облада­ют магнетизмом, дополнительным к атомному. Магнитная восприимчи­вость металлов складывается из восприимчивости ионов, электронов про­водимости и восприимчивости, зависящей от силы и характера взаимодей­ствия электронов и ионов в кристаллической решетке. Ориентация по по­лю спинов электронов проводимости приводит к появлению у них общего магнитного момента, направленного по полю. Существование такого мо­мента означает парамагнетизм, который называется парамагнетизмом Паули. Кроме того, на электроны проводимости в магнитном поле дейст­вует сила Лоренца. Благодаря этому проекция траекторий движения час­тиц на плоскость, перпендикулярную полю, имеет в квазиклассическом приближении вид замкнутых циклотронных орбит. Величина предсказан­ного Ландау диамагнитного эффекта, создаваемого свободными электронами (с эффективной массой, равной массе электрона в вакууме), состав­ляет 1/3 парамагнитного момента Паули (таким образом, от последнего остается 2/3).

В общем случае эффективная масса электрона проводимости отличает­ся от массы свободного электрона. Из-за сложности взаимодействия элек­трона с окружающим его облаком других электронов проводимости и ионных остовов его эффективная масса может быть как больше, так и меньше массы свободной частицы, а иногда может быть даже отрицатель­ной. Поскольку направление движения электрона вокруг магнитного поля (по циклотронной орбите) зависит от отношения его заряда к эффек­тивной массе, то электроны вращаются либо как отрицательно, либо как положительно (!) заряженные частицы. Поэтому создаваемый внешним полем магнитный момент будет соответственно либо отрицателен, либо положителен по отношению к этому полю.

В случае гармонической зависимости от времени, напряженность маг­нитного поля может быть представлена в комплексном виде (В=В0е-iωt), а значит Н и М также являются комплексными величинами. Поэтому, вооб­ще говоря, и коэффициент связи между ними % (то же самое относится и к //) также должен рассматриваться как комплексное число: Х= Х /+ Х // – Физи­чески это означает несовпадение намагниченности (и магнитной индук­ции) с внешним полем по фазе.

Рассматриваемый далее эффект вызван в основном вихревыми токами в образце, создающими собственное магнитное поле. Поэтому далее будем считать, что статическая магнитная проницаемостьμ=1.

Поскольку напряженность магнитного поля в веществе Ht связана с на­пряженностью внешнего магнитного Не поля линейно, то намагниченность тела также связана линейно:

М = аНе,                     (3.17)

безразмерный коэффициент а – называют магнитной поляризуемостью, и

Найдем магнитную поляризуемость для цилиндрического проводника радиуса а, помещенного в однородное переменное магнитное поле, парал­лельное оси цилиндра (He=H0e’mt). Эту задачу можно решить, исходя из уравнений:

(3.18)

     (3.19)

                 (3.20)

Во втором из этих уравнений не учтен ток смещения, т.к. он мал по сравнению с током проводимости при ω <<4πσ/ε. Предполагается также, что длина волны, соответствующая частоте поля ω, велика по сравнению с размерами тела (с/ ω>>l), период изменения поля мал по сравнению с характерным временем микроскопического механизма проводимости (ω <<1/τ, τ – время свободного пробега электронов), а длина свободного пробега электронов мала по сравнению с масштабом, на котором заметно изменяется поле.

Исключение Е из (3.18)-(3.20) приводит к следующему уравнению для Н: (3.21)

С учетом временной зависимости магнитного поля Не=Н0е- iω t, полагая μ=1, получаем уравнение:

   (3.22)

Это уравнение вместе с уравнением divH = 0 составляет полную сис­тему, достаточную для определения магнитного поля.

Токи Фуко в цилиндре циркулярны (т.е. j имеет в цилиндрических ко­ординатах только угловую компоненту j9) и определяются по полю со­гласно (3.23)

Магнитный момент единицы длины цилиндра, создаваемый токами проводимости, направлен вдоль его оси и равен

(3.24)

(3.25)

где

Функции Бесселя (3.26)

В предельном случае низких частот (δ>>a)

(3.27)

Отсюда получим

(3.28)

где f=ω/2π- частота, a d=2a – диаметр образца.

Таким образом, магнитный момент проводника в переменном магнит­ном поле создается в основном возникающими в теле токами проводимо­сти; он отличен от нуля даже при μ=1, когда статический момент обраща­ется в нуль. Статический момент должен получаться из М(ω) при ω→0. Отсюда следует, что вещественная часть магнитной поляризуемости а’ стремится при ω→0 к постоянному значению (равному нулю при μ=1). Возникновение вихревых токов сопровождается диссипацией энергии по­ля, выделяющейся в виде джоулева тепла. Диссипация энергии определя­ется мнимой частью магнитной поляризуемости а”, причем a”<0.

Полученное приближенное соотношение может использоваться для бесконтактного определения проводимости (на достаточно малых часто­тах) в тех случаях, когда вещественная часть магнитной поляризуемости a'<0, а μ=1. Однако, как уже отмечалось выше, поскольку направление движения электрона вокруг магнитного поля зависит от знака его эффек­тивной массы, то можно предположить, что возможна экспериментальная ситуация, в которой а’ >0. В этом случае в правой части (3.28) следует за­менить знак "-" на "+". Кроме того, необходимо иметь в виду, что если статический магнитный момент не равен нулю, то при ω→0 а’ стремится к постоянному значению, также отличному от нуля, и его необходимо учи­тывать в (3.27) и, соответственно, в (3.28).

Измерения основаны на использовании дифференциального трансфор­матора, состоящего из двух одинаковых катушек взаимной индуктивности (рис.3.5).

Рисунок 3.5 Схема экспериментальной установки

1 ­­­­– образец

2, 3 – катушки взаимной индуктивности

N – двулучевой осциллограф

G – генератор низких частот

Первичные обмотки катушек включены последовательно, и по ним пропускается ток от генератора низкой частоты. Вторичные обмот­ки включены встречно, так что без образца напряжение на выходе дифференциального трансформатора равно нулю. При помещении образца (1) внутрь рабочей катушки в нем возникают вихревые токи, а ЭДС во вто­ричной обмотке изменяется. Так как начальная ЭДС (без образца) была скомпенсирована второй катушкой, то возникающий теперь выходной сигнал пропорционален частоте, амплитуде магнитного поля и эффектив­ной магнитной восприимчивости образца:

(3.28)

Здесь мы представили Х  в виде Х = Хoeiβ где tgβ= а”/ а’ из соотношения (3.28). То есть выходной сигнал оказывается сдвинут на φ=(π/2-β). Воспользовавшись тем, что tg(7π/2-β)=ctgβ [3, получим

(3.30)

Таким образом, построив график зависимости tg(φ) от частоты/ по ко­эффициенту наклона линейного участка кривой можно рассчитать прово­димость σ.

Если статическая магнитная поляризуемость образца отлична от нуля,

т.е.

(3.31)

то вместо (3.30) следует воспользоваться выражением

(3.32)

Эта формула, как и (3.31), правильно описывает ход соответствующей экспериментальной кривой в области низких частот. Интересно отметить, что на этой кривой имеется линейный участок вблизиточки f=f0, в которой

tg(φ)=o.