3.3 Бесконтактное измерение электропроводности.
Один из методов бесконтактного измерения электропроводности в проводнике, находящемся в переменном магнитном поле.
Используя метод дифференциального трансформатора, с помощью фазоизмерительного устройства определяют частотную зависимость фазового сдвига между переменным внешним магнитным полем и намагниченностью образца, помещенного в это поле, а затем, проведя обработку экспериментальных данных, вычисляют удельную проводимость различных металлов и сплавов.
Все металлы и их сплавы содержат электроны проводимости и обладают магнетизмом, дополнительным к атомному. Магнитная восприимчивость металлов складывается из восприимчивости ионов, электронов проводимости и восприимчивости, зависящей от силы и характера взаимодействия электронов и ионов в кристаллической решетке. Ориентация по полю спинов электронов проводимости приводит к появлению у них общего магнитного момента, направленного по полю. Существование такого момента означает парамагнетизм, который называется парамагнетизмом Паули. Кроме того, на электроны проводимости в магнитном поле действует сила Лоренца. Благодаря этому проекция траекторий движения частиц на плоскость, перпендикулярную полю, имеет в квазиклассическом приближении вид замкнутых циклотронных орбит. Величина предсказанного Ландау диамагнитного эффекта, создаваемого свободными электронами (с эффективной массой, равной массе электрона в вакууме), составляет 1/3 парамагнитного момента Паули (таким образом, от последнего остается 2/3).
В общем случае эффективная масса электрона проводимости отличается от массы свободного электрона. Из-за сложности взаимодействия электрона с окружающим его облаком других электронов проводимости и ионных остовов его эффективная масса может быть как больше, так и меньше массы свободной частицы, а иногда может быть даже отрицательной. Поскольку направление движения электрона вокруг магнитного поля (по циклотронной орбите) зависит от отношения его заряда к эффективной массе, то электроны вращаются либо как отрицательно, либо как положительно (!) заряженные частицы. Поэтому создаваемый внешним полем магнитный момент будет соответственно либо отрицателен, либо положителен по отношению к этому полю.
В случае гармонической зависимости от времени, напряженность магнитного поля может быть представлена в комплексном виде (В=В0е-iωt), а значит Н и М также являются комплексными величинами. Поэтому, вообще говоря, и коэффициент связи между ними % (то же самое относится и к //) также должен рассматриваться как комплексное число: Х= Х /+ Х // – Физически это означает несовпадение намагниченности (и магнитной индукции) с внешним полем по фазе.
Рассматриваемый далее эффект вызван в основном вихревыми токами в образце, создающими собственное магнитное поле. Поэтому далее будем считать, что статическая магнитная проницаемостьμ=1.
Поскольку напряженность магнитного поля в веществе Ht связана с напряженностью внешнего магнитного Не поля линейно, то намагниченность тела также связана линейно:
М = аНе, (3.17)
безразмерный коэффициент а – называют магнитной поляризуемостью, и
Найдем магнитную поляризуемость для цилиндрического проводника радиуса а, помещенного в однородное переменное магнитное поле, параллельное оси цилиндра (He=H0e’mt). Эту задачу можно решить, исходя из уравнений:
(3.18)
(3.19)
(3.20)
Во втором из этих уравнений не учтен ток смещения, т.к. он мал по сравнению с током проводимости при ω <<4πσ/ε. Предполагается также, что длина волны, соответствующая частоте поля ω, велика по сравнению с размерами тела (с/ ω>>l), период изменения поля мал по сравнению с характерным временем микроскопического механизма проводимости (ω <<1/τ, τ – время свободного пробега электронов), а длина свободного пробега электронов мала по сравнению с масштабом, на котором заметно изменяется поле.
Исключение Е из (3.18)-(3.20) приводит к следующему уравнению для Н: (3.21)
С учетом временной зависимости магнитного поля Не=Н0е- iω t, полагая μ=1, получаем уравнение:
(3.22)
Это уравнение вместе с уравнением divH = 0 составляет полную систему, достаточную для определения магнитного поля.
Токи Фуко в цилиндре циркулярны (т.е. j имеет в цилиндрических координатах только угловую компоненту j9) и определяются по полю согласно (3.23)
Магнитный момент единицы длины цилиндра, создаваемый токами проводимости, направлен вдоль его оси и равен
(3.24)
(3.25)
где
Функции Бесселя (3.26)
В предельном случае низких частот (δ>>a)
(3.27)
Отсюда получим
(3.28)
где f=ω/2π- частота, a d=2a – диаметр образца.
Таким образом, магнитный момент проводника в переменном магнитном поле создается в основном возникающими в теле токами проводимости; он отличен от нуля даже при μ=1, когда статический момент обращается в нуль. Статический момент должен получаться из М(ω) при ω→0. Отсюда следует, что вещественная часть магнитной поляризуемости а’ стремится при ω→0 к постоянному значению (равному нулю при μ=1). Возникновение вихревых токов сопровождается диссипацией энергии поля, выделяющейся в виде джоулева тепла. Диссипация энергии определяется мнимой частью магнитной поляризуемости а”, причем a”<0.
Полученное приближенное соотношение может использоваться для бесконтактного определения проводимости (на достаточно малых частотах) в тех случаях, когда вещественная часть магнитной поляризуемости a'<0, а μ=1. Однако, как уже отмечалось выше, поскольку направление движения электрона вокруг магнитного поля зависит от знака его эффективной массы, то можно предположить, что возможна экспериментальная ситуация, в которой а’ >0. В этом случае в правой части (3.28) следует заменить знак "-" на "+". Кроме того, необходимо иметь в виду, что если статический магнитный момент не равен нулю, то при ω→0 а’ стремится к постоянному значению, также отличному от нуля, и его необходимо учитывать в (3.27) и, соответственно, в (3.28).
Измерения основаны на использовании дифференциального трансформатора, состоящего из двух одинаковых катушек взаимной индуктивности (рис.3.5).
Рисунок 3.5 Схема экспериментальной установки
1 – образец
2, 3 – катушки взаимной индуктивности
N – двулучевой осциллограф
G – генератор низких частот
Первичные обмотки катушек включены последовательно, и по ним пропускается ток от генератора низкой частоты. Вторичные обмотки включены встречно, так что без образца напряжение на выходе дифференциального трансформатора равно нулю. При помещении образца (1) внутрь рабочей катушки в нем возникают вихревые токи, а ЭДС во вторичной обмотке изменяется. Так как начальная ЭДС (без образца) была скомпенсирована второй катушкой, то возникающий теперь выходной сигнал пропорционален частоте, амплитуде магнитного поля и эффективной магнитной восприимчивости образца:
(3.28)
Здесь мы представили Х в виде Х = Хoeiβ где tgβ= а”/ а’ из соотношения (3.28). То есть выходной сигнал оказывается сдвинут на φ=(π/2-β). Воспользовавшись тем, что tg(7π/2-β)=ctgβ [3, получим
(3.30)
Таким образом, построив график зависимости tg(φ) от частоты/ по коэффициенту наклона линейного участка кривой можно рассчитать проводимость σ.
Если статическая магнитная поляризуемость образца отлична от нуля,
т.е.
(3.31)
то вместо (3.30) следует воспользоваться выражением
(3.32)
Эта формула, как и (3.31), правильно описывает ход соответствующей экспериментальной кривой в области низких частот. Интересно отметить, что на этой кривой имеется линейный участок вблизиточки f=f0, в которой
tg(φ)=o.