Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному

Лекция 8. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.

Рассмотрим область D, ограниченную линиями x = a, x = b ( a < b ), где φ1(х) и φ2(х) непрерывны на [a, b]. Тогда любая прямая, параллельная координатной оси Оу и проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает границу области в двух точках: N1 и N2 (рис.1). Назовем такую область правильной в на-

у правлении оси Оу. Аналогично определя-

y=φ2(x) ется область, правильная в направлении

N2 оси Ох. Область, правильную в направле-

нии обеих координатных осей, будем на-

D зывать просто правильной. Например,

правильная область изображена на рис.1.

Пусть функция f(x, y) непрерывна в области D. Рассмотрим выражение

, (8.1)

называемое двукратным интегралом от функции f(x, y) по области D. Вычислим вначале внутренний интеграл (стоящий в скобках) по переменной у, считая х постоянным. В результате получится непрерывная функция от х:

Полученную функцию проинтегрируем по х в пределах от а до b. В результате получим число

Докажем важное свойство двукратного интеграла.

Теорема 8.1. Если область D, правильная в направлении Оу, разбита на две области D1 и D2 прямой, параллельной оси Оу или оси Ох, то двукратный интеграл по области D будет равен сумме таких же интегралов по областям D1 и D2:

. (8.2)

Доказательство.

а) Пусть прямая х = с разбивает D на D1 и D2 , правильные в направлении Оу. Тогда

б) Пусть прямая y = h разбивает D на правильные в направлении Оу области D1 и D2 (рис.2). Обозначим через M1 (a1, h) и M2 (b1, h) точки пересечения прямой y = h с гра-ницей L области D.

y Область D1 ограничена непрерывными линиями

y=φ2(x) 1) y = φ1(x);

D2 2) кривой А1М1М2В, уравнение которой запишем

h M1 M2 y = φ1*(x), где φ1*(х) = φ2(х) при а ≤ х ≤ а1 и

A1 D1 B b1 ≤ x ≤ b, φ1*(х) = h при а1 ≤ х ≤ b1;

3) прямыми x = a, x = b.

Область D2 ограничена линиями y = φ1*(x),

A у = φ2(х), а1 ≤ х ≤ b1.

y=φ1(x) Применим к внутреннему интегралу теорему о

разбиении промежутка интегрирования:

O a a1 b1 b

Рис.2.

Представим второй из полученных интегралов в виде суммы:

+ + .

Поскольку φ1*(х) = φ2(х) при а ≤ х ≤ а1 и b1 ≤ x ≤ b, первый и третий из полученных интегралов тождественно равны нулю. Следовательно,

ID = , то есть .

Следствие. Таким же образом можно разбить область D на любое число правильных областей. При этом двукратный интеграл по области D будет равен сумме интегралов по частичным областям.

Замечание 1. Используя теорему 8.1 и теоремы о среднем для определенного интеграла, можно доказать, что для двукратного интеграла справедливы соотношения:

(8.3)

где т и М – соответственно наименьшее и наибольшее значение функции f(x, y) в области D, а S – площадь этой области, и

ID = f(P)S, (8.4)

где Р – точка, принадлежащая области D .

Замечание 2. Более употребительной формой записи двукратного интеграла является

= (8.5)

Теорема 8.2. Двойной интеграл от непрерывной функции f(x, y) по правильной области D равен двукратному интегралу от этой функции по данной области, то есть

. (8.6)

Доказательство.

Разобьем область D прямыми, параллельными координатным осям, на п правильных (в основном прямоугольных) областей ΔS1, ΔS2,…, ΔSn. Тогда по теореме 8.1

Из (8.4) получим: , где справа стоит интегральная сумма, предел которой равен двойному интегралу от f по области D, а слева – постоянное число ID . Переходя к пределу при , получим равенство (8.6).

Пример.

Вычислим двойной интеграл от функции z = x + y по области, представляющей собой треугольник с вершинами в точках (0,0), (0,1) и (1,0) (рис.3).

у Здесь а = 0, b = 1, φ1(x) = 0, φ2(x) = 1 – x.

Тогда

1 D

O 1 x

Рис.3.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Правильной областью в полярных координатах (определение полярных координат см. в лекции 14 за 2-й семестр) назовем такую область, границу которой каждый луч, выходящий из полюса, пересекает не более чем в двух точках (рис.4).

Зададим в области D, ограниченной кривыми ρ=Φ1 (φ) и ρ=Φ2 (φ), где φ1 < φ < φ2 ,

непрерывную функцию z = f(φ, ρ) . Разобьем область D на части ΔSik , ограниченные лучами ρ = ρi-1 и ρ = ρi , выходящими из полюса, и дугами окруж-ностей φ = φk-1 и φ = φk с центром в полюсе, и составим интегральную сумму , где Pik – точка, принадлежащая ΔSik . Найдем площадь части ΔSik , не пересекаемой границей области, как разность площадей двух секторов: