Лекция 8. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
Рассмотрим область D, ограниченную линиями 
x = a, x = b ( a < b ), где φ1(х) и φ2(х) непрерывны на [a, b]. Тогда любая прямая, параллельная координатной оси Оу и проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает границу области в двух точках: N1 и N2 (рис.1). Назовем такую область правильной в на-
у правлении оси Оу. Аналогично определя-
y=φ2(x) ется область, правильная в направлении
N2 оси Ох. Область, правильную в направле-
нии обеих координатных осей, будем на-
D зывать просто правильной. Например,
правильная область изображена на рис.1.
Пусть функция f(x, y) непрерывна в области D. Рассмотрим выражение
, (8.1)
называемое двукратным интегралом от функции f(x, y) по области D. Вычислим вначале внутренний интеграл (стоящий в скобках) по переменной у, считая х постоянным. В результате получится непрерывная функция от х:
Полученную функцию проинтегрируем по х в пределах от а до b. В результате получим число 
Докажем важное свойство двукратного интеграла.
Теорема 8.1. Если область D, правильная в направлении Оу, разбита на две области D1 и D2 прямой, параллельной оси Оу или оси Ох, то двукратный интеграл по области D будет равен сумме таких же интегралов по областям D1 и D2:
. (8.2)
Доказательство.
а) Пусть прямая х = с разбивает D на D1 и D2 , правильные в направлении Оу. Тогда
+
+
б) Пусть прямая y = h разбивает D на правильные в направлении Оу области D1 и D2 (рис.2). Обозначим через M1 (a1, h) и M2 (b1, h) точки пересечения прямой y = h с гра-ницей L области D.
y Область D1 ограничена непрерывными линиями
y=φ2(x) 1) y = φ1(x);
D2 2) кривой А1М1М2В, уравнение которой запишем
h M1 M2 y = φ1*(x), где φ1*(х) = φ2(х) при а ≤ х ≤ а1 и
A1 D1 B b1 ≤ x ≤ b, φ1*(х) = h при а1 ≤ х ≤ b1;
3) прямыми x = a, x = b.
Область D2 ограничена линиями y = φ1*(x),
A у = φ2(х), а1 ≤ х ≤ b1.
y=φ1(x) Применим к внутреннему интегралу теорему о
разбиении промежутка интегрирования:
O a a1 b1 b
Рис.2.
+ 
Представим второй из полученных интегралов в виде суммы:
+ 
+ 
.
Поскольку φ1*(х) = φ2(х) при а ≤ х ≤ а1 и b1 ≤ x ≤ b, первый и третий из полученных интегралов тождественно равны нулю. Следовательно,
ID = 
, то есть 
.
Следствие. Таким же образом можно разбить область D на любое число правильных областей. При этом двукратный интеграл по области D будет равен сумме интегралов по частичным областям.
Замечание 1. Используя теорему 8.1 и теоремы о среднем для определенного интеграла, можно доказать, что для двукратного интеграла справедливы соотношения:
(8.3)
где т и М – соответственно наименьшее и наибольшее значение функции f(x, y) в области D, а S – площадь этой области, и
ID = f(P)S, (8.4)
где Р – точка, принадлежащая области D .
Замечание 2. Более употребительной формой записи двукратного интеграла является
= 
(8.5)
Теорема 8.2. Двойной интеграл от непрерывной функции f(x, y) по правильной области D равен двукратному интегралу от этой функции по данной области, то есть
. (8.6)
Доказательство.
Разобьем область D прямыми, параллельными координатным осям, на п правильных (в основном прямоугольных) областей ΔS1, ΔS2,…, ΔSn. Тогда по теореме 8.1
.
Из (8.4) получим: 
, где справа стоит интегральная сумма, предел которой равен двойному интегралу от f по области D, а слева – постоянное число ID . Переходя к пределу при 
, получим равенство (8.6).
Пример.
Вычислим двойной интеграл от функции z = x + y по области, представляющей собой треугольник с вершинами в точках (0,0), (0,1) и (1,0) (рис.3).
у Здесь а = 0, b = 1, φ1(x) = 0, φ2(x) = 1 – x.
Тогда 
1 D 
O 1 x 
Рис.3.
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
Правильной областью в полярных координатах (определение полярных координат см. в лекции 14 за 2-й семестр) назовем такую область, границу которой каждый луч, выходящий из полюса, пересекает не более чем в двух точках (рис.4).
Зададим в области D, ограниченной кривыми ρ=Φ1 (φ) и ρ=Φ2 (φ), где φ1 < φ < φ2 ,
непрерывную функцию z = f(φ, ρ) . Разобьем область D на части ΔSik , ограниченные лучами ρ = ρi-1 и ρ = ρi , выходящими из полюса, и дугами окруж-ностей φ = φk-1 и φ = φk с центром в полюсе, и составим интегральную сумму 
, где Pik – точка, принадлежащая ΔSik . Найдем площадь части ΔSik , не пересекаемой границей области, как разность площадей двух секторов:
, где 
. Учитывая, что площади частей, пересекаемых границей области, стремятся к нулю при 
и 
, получим:
(8.7)
Пример.
Выведем с использованием двойного интеграла формулу для площади круга радиуса R с центром в начале координат:
