Лекция 11.Скалярное и векторное поле. Циркуляция векторного поля вдоль кривой. Формула Грина.
Если в каждой точке М определенной пространственной области задано значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят, что задано поле этой величины (соответственно скалярное или векторное).
Примерами скалярных полей являются поле температур или поле электрического потенциала, примерами векторных полей – поле сил или поле скоростей.
Рассмотрим некоторые характеристики скалярных и векторных полей.
Определение 11.1. Если в некоторой области задано скалярное поле U(x,y,z), то поверхность, определяемая уравнением
U(x, y, z) = C, (11.1)
называется поверхностью уровня. В двумерном случае линия уровня задается уравнением U(x, y) = C. (11.1`)
Определение 11.2. Если в некоторой области задано векторное поле 
, то кривая, направление которой в каждой ее точке М совпадает с направлением вектора 
в этой точке, называется векторной линией. Она задается уравнениями
(11.2)
Поверхность, составленная из векторных линий, называется векторной поверхно-стью. Если векторная поверхность образована векторными линиями, проходящими через каждую точку некоторой замкнутой кривой, то она называется векторной трубкой.
Определение 11.3. Пусть задано скалярное поле U(x, y, z). Вектор
(11.3)
называется градиентом величины U в соответствующей точке (см. лекцию 4 за 2-й семестр).
Замечание. Таким образом, скалярное поле U(x, y, z) порождает векторное поле градиента gradU.
Определение 11.4. Пусть дано векторное поле 
. Интеграл
(11.4)
называется линейным интегралом от вектора 
вдоль кривой L. Если кривая L замкнута, то этот интеграл называют циркуляцией вектора 
вдоль кривой L.
Здесь 
– скалярное произведение векторов 
и 
Замечание. Иногда криволинейный интеграл 2-го рода по замкнутому контуру обозначают 
.
Пример. Вычислить циркуляцию векторного поля 
={x, xy, xyz} вдоль контура L:
x² + y² = 9, z = 2 (направление обхода контура – от точки (3,0,2) к точке (0,3,2)).
Зададим контур L параметрически: x = 3cos t, y = 3sin t, z = 2 (0 ≤ t ≤ 2π). Тогда
Формула Грина.
Установим связь между двойным интегралом по некоторой плоской области D и криволинейным интегралом по границе L этой области.
Пусть в плоскости Оху дана ограниченная замкнутым контуром L правильная область D. Кривые, ограничивающие эту область снизу и сверху, заданы уравнениями
y = y1(x) и y = y2(x), y1(x) ≤ y2(x), a ≤ x ≤ b (рис.1).
Зададим в области D непрерывные функции P(x, y) и Q(x, y), имеющие непрерывные частные производные, и рассмотрим интеграл
.
Переходя к двукратному интегралу, получим:
(11.5)
Так как у = у2(х) – параметрическое выражение кривой МPN, то
где справа стоит криволинейный интеграл по кривой MPN. Аналогично получаем, что
.
Подставим полученные результаты в формулу (11.5):
(11.6)
так как контур L представляет собой объединение кривых MPN и NQM.
Так же можно получить, что 
(11.7)
Вычтем из равенства (11.6) равенство (11.7):
При этом обход контура L происходит по часовой стрелке. Изменим направление обхода. Тогда предыдущее равенство примет вид:
(11.8)
Эта формула, задающая связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода, называется формулой Грина.
Замечание 1. Если в криволинейном интеграле по замкнутому контуру не указано направление обхода, то предполагается, что он производится против часовой стрелки.
Замечание 2. Если рассматривать в плоскости Оху векторное поле {P(x,y), Q(x,y)}, то в правой части формулы (11.8) стоит его циркуляция по контуру L.
Пример. Вычислим циркуляцию векторного поля {x + sin x, х – eу} по контуру x²+ y²=1.
Применим формулу Грина, учитывая, что 
:
Область D при этом – круг единичного радиуса с центром в начале координат. Перейдем к полярным координатам:
