Лекция 13. Ориентация поверхности. Поток векторного поля. Поверхностный интеграл второго рода, его свойства, физический смысл и вычисление. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.
Определим понятие стороны поверхности. Выберем на гладкой поверхности (замк-нутой или ограниченной гладким контуром) точку М0 и проведем в ней нормаль к поверхности, выбрав для нее определенное направление (одно из двух возможных). Проведем по поверхности замкнутый контур, начинающийся и заканчивающийся в точке М0. Рассмотрим точку М, обходящую этот контур, и в каждом из ее положений проведем нормаль того направления, в которое непрерывно переходит нормаль из предыдущей точки. Если после обхода контура нормаль вернется в точке М0 в перво-начальное положение при любом выборе точки М0 на поверхности, поверхность называется двусторонней. Если же направление нормали после обхода хотя бы одной точки изменится на противоположное, поверхность называется односторон-ней (примером односторонней поверхности служит лист Мебиуса).
Из вышесказанного следует, что выбор направления нормали в одной точке одно-значно определяет направление нормали во всех точках поверхности.
Определение 13.1. Совокупность всех точек поверхности с одинаковым направлени-ем нормали называется стороной поверхности.
Ориентация поверхности.
Рассмотрим незамкнутую гладкую двустороннюю поверхность S, ограниченную контуром L, и выберем одну сторону этой поверхности.
Определение 13.2. Назовем положительным направление обхода контура L, при котором движение по контуру происходит против часовой стрелки относительно наблюдателя, находящегося в конечной точке нормали к какой-либо точке поверх-ности S, соответствующей выбранной стороне поверхности. Обратное направление обхода контура назовем отрицательным.
Поток векторного поля.
Рассмотрим векторное поле А(М), определенное в пространственной области G, ориентированную гладкую поверхность S 
G и поле единичных нормалей п(М) на выбранной стороне поверхности S.
Определение 13.3. Поверхностный интеграл 1-го рода
, (13.1)
где An – скалярное произведение соответствующих векторов, а Ап – проекция вектора А на направление нормали, называется потоком векторного поля А(М) через выбранную сторону поверхности S.
Замечание 1. Если выбрать другую сторону поверхности, то нормаль, а, следова-тельно, и поток изменят знак.
Замечание 2. Если вектор А задает скорость течения жидкости в данной точке, то интеграл (13.1) определяет количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность S в положительном направлении (отсюда общий термин «поток»).
Поверхностный интеграл второго рода.
Введем определение поверхностного интеграла 2-го рода по аналогии с соответ-ствующим криволинейным интегралом. Рассмотрим гладкую двустороннюю поверхность S, заданную уравнением z = z(x, y), в каждой точке которой определена функция f(M) = f(x, y, z), и выберем какую-либо из ее сторон (или, что то же самое, определенную ориентацию). Разобьем поверхность S на части S1, S2,…, Sп, выберем в каждой части Si точку Mi(xi, yi, zi), и умножим f(Mi) на площадь Di проекции части Si на плоскость Оху. При этом будем считать, проекция части верхней по отношению к плоскости Оху стороны рассматриваемой поверхности имеет знак «+», а нижней – знак «-». Составим сумму
. (13.2)
Определение 13.4. Если существует конечный предел суммы (13.2) при ρ→0, не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек на ней, то он называет-ся поверхностным интегралом второго рода от функции f(M) по выбранной сто-роне поверхности S и обозначается
(13.3)
Замечание. В этой символической записи не содержится указания на то, какая сторона поверхности выбрана, поэтому это требуется оговаривать отдельно.
Подобным образом можно проектировать части поверхности на координатные плос-кости Оxz и Оyz (при условии, что уравнение поверхности можно представить в виде y = y(x, z) или x = x(y, z) ). Получим два других поверхностных интеграла 2-го рода:
и 
. (13.4)
Рассмотрев сумму интегралов вида (13.3) и (13.4) по одной и той же поверхности соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), получим поверхностный интеграл второго рода общего вида:
(13.5)
Отметим основное свойство поверхностного интеграла 2-го рода:
При замене рассматриваемой стороны поверхности на противоположную поверхностный интеграл 2-го рода меняет знак: 
(13.6) Справедливость этого утверждения следует из определения 13.4.
Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода.
Если задать единичный вектор выбранной нормали к поверхности S в виде п = {cos α, cos β, cos γ}, где α, β, γ – углы, образованные нормалью с осями координат, то 
(выбор знака зависит от направления нормали). Тогда из (13.2), (13.3) следует, что
. (13.7)
Здесь D – проекция поверхности S на плоскость Оху, а выражение для dS взято из формулы (12.5). Таким образом, вычисление поверхностного интеграла 2-го рода сводится к вычислению обычного двойного интеграла по области D от функции f, в которую вместо координаты z подставлено ее выражение из уравнения поверхности S. Обобщая эти рассуждения, получим, что
(13.8)
где D΄ и D΄΄ – проекции поверхности S на соответствующие координатные плоскости.
Пример. Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода 
где S – нижняя сторона части конуса 
при 
Применим формулу (13.7), учитывая, что выбрана нижняя сторона поверхности и что проекцией части конуса на плоскость Оху является круг 
:
Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.
Учитывая, что проекции элемента поверхности Si на координатные плоскости имеют вид Sicosγ, Sicosβ, Sicosα, из (13.5) получим:
, (13.9)
где векторное поле 
, а 
– векторное поле единичных нормалей заданно-го направления в каждой точке поверхности. Следовательно, поверхностный интеграл 2-го рода (13.5) равен поверхностному интегралу 1-го рода (13.9). Эта формула предо-ставляет еще одну возможность вычисления поверхностного интеграла 2-го рода. Заметим, что при смене стороны поверхности меняют знак направляющие косинусы нормали, и, соответственно, интеграл в правой части равенства (13.9), который сам по себе, как поверхностный интеграл 1-го рода, от выбора стороны поверхности не зависит.
Пример. Рассмотрим интеграл 
, где S – внешняя сторона верхней половины сферы x² + y² + z² = R². Так как радиус сферы, проведенный в любую ее точку, можно считать нормалью к сфере в этой точке, единичный вектор нормали можно задать в виде п = 
. Тогда, используя формулу (13.9), получаем, что требуется вычислить поверхностный интеграл 1-го рода
(Область D – круг с центром в начале координат радиуса R).
Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода.
Сравнив формулы (13.9) и (13.1), увидим, что поверхностный интеграл 2-го рода представляет собой поток векторного поля 
через выбранную сторону поверхности S. При этом из формулы (13.9) следует, что поток можно задать и в виде поверхностного интеграла 1-го рода вида (13.5).