Лекция 14. Геометрические и механические приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов.
Двойной интеграл.
Площадь плоской области.
Из формулы 7.1 следует, что при f(x,y) ≡ 0 предел интегральной суммы 
при 
равен площади области интегрирования S, то есть
(14.1)
- Объем цилиндроида.
Рассмотрим тело, ограниченное частью поверхности S ( z = f(x,y) ), ограниченной контуром L, проекцией этой поверхности на плоскость Оху и отрезками, параллель-ными оси Оz и соединяющими каждую точку контура L с соответствующей точкой плоскости Оху. Такое тело будем называть цилиндроидом. Тогда из формул (7.1) и (7.2) получим, что объем этого тела равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области S:
(14.2)
- Площадь криволинейной поверхности.
Вычислим площадь части криволинейной поверхности S, заданной уравнением z = f(x,y), ограниченной контуром L. Вспомним еще раз (см. лекцию 12), что площадь элемента поверхности ΔSi равна
,
где ΔDi – проекция ΔSi на плоскость Оху, γ – угол между осью Оz и нормалью к ΔSi в некоторой ее точке 
Составив интегральную сумму
и устремив ее к пределу при 
, получим формулу для площади поверхности:
(14.3)
- Момент инерции плоской фигуры.
Вспомним определение момента инерции
а) материальной точки М с массой т относительно точки О: I = mr² (r – расстояние от М до О);
б) системы материальных точек m1, m2,…, mn относительно точки О:
.
Определим теперь момент инерции относительно точки О материальной плоской фигуры D.
Найдем момент инерции фигуры D (рис.1) относительно начала координат, считая, что плотность в каждой точке равна 1. Разобьем область D на части ΔSi (i = 1, 2,… n) и выберем в каждой части точку Pi (ξi, ηi). Назовем элементарным моментом инерции площадки ΔSi выражение вида ΔIi = (ξi² + ηi²)ΔSi и составим интегральную сумму
(14.4)
для функции f(x, y) = x² + y² по области D.
Определение 14.1. Предел интегральной суммы (14.4) при 
называется моментом инерции фигуры D относительно начала координат:
(14.5)
Определение 14.2. Интегралы
(14.6)
называются моментами инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу.
Замечание. Если поверхностная плотность не равна 1, а является некоторой функци-ей γ = γ(х, у), то момент инерции фигуры относительно начала координат вычисляет-ся по формуле
(14.7)
- Координаты центра масс плоской фигуры.
Как известно, координаты центра масс системы материальных точек P1, P2,…, Pn с масса-ми т1, т2,…, тп определяются по формулам
.
Если разбить плоскую фигуру D с поверхностной плотностью, равной 1, на части, то масса каждой части будет равна ее площади. Будем считать теперь, что вся масса эле-ментарной площадки ΔSi сосредоточена в какой-либо ее точке Pi (ξi, ηi). Тогда фигуру D можно рассматривать как систему материальных точек, центр масс которой определяется равенствами
.
Переходя к пределу при 
, получим точные формулы для координат центра масс плоской фигуры:
. (14.8)
В случае переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у) эти формулы примут вид
. (14.9)
Тройной интеграл.
- Объем тела.
Из определения 7.3 следует, что при f(x, y, z) ≡ 1 тройной интеграл по некоторой замкнутой области V равен объему тела V:
(14.10)
- Масса тела.
Если γ = γ (x, y, z) – функция, задающая плотность вещества, из которого состоит тело V, то масса тела выражается формулой
(14.11)
- Момент инерции тела.
Используя формулы для моментов инерции точки М (x, y, z) массы т относительно координатных осей:
и проводя те же рассуждения, что и при определении моментов плоской фигуры, можно задать моменты инерции тела относительно координатных осей в виде:
(14.12)
где γ (х, y, z) – плотность вещества.
- Координаты центра масс тела.
Формулы для координат центра масс тела тоже задаются аналогично случаю плоской фигуры:
(14.13)
Криволинейный интеграл 1-го рода.
- Длина кривой.
Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:
(14.14)
- Масса кривой.
Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле
(14.15)
3. Моменты кривой l найдем, рассуждая так же, как в случае плоской области: 
– (14.16)
- статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;
– (14.17)
- момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;
– (14.18)
- моменты инерции кривой относительно координатных осей.
4.Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам
. (14.19)
Криволинейный интеграл 2-го рода.
Если считать, что сила 
действует на точку, движущуюся по кривой (АВ), то работа этой силы может быть представлена как
, (14.20)
то есть криволинейным интегралом 2-го рода (см. лекцию 10).
Поверхностный интеграл 1-го рода.
- Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой z = f(x, y), можно найти в виде:
(14.21)
(Ω – проекция S на плоскость Оху).
- Масса поверхности
(14.22)
- Моменты:
– (14.23)
- статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;
– (14.24)
- моменты инерции поверхности относительно координатных осей;
– (14.25)
- моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;
– (14.26)
- момент инерции поверхности относительно начала координат.
- Координаты центра масс поверхности:
. (14.27)
Поверхностный интеграл 2-го рода.
Напомним, что поверхностный интеграл второго рода от некоторой векторной функции представляет собой поток соответствующего векторного поля через выбран-ную сторону поверхности интегрирования (см. лекцию 13).
Замечание 1. Так как формулы, задающие значения геометрических и физических величин с помощью интегралов, выводятся с помощью одних и тех же приемов для интегралов всех- рассматриваемых типов, подробный их вывод дается только в начале лекции. При желании можно провести аналогичные рассуждения для тройных, криво-линейных и поверхностных интегралов и получить все формулы, приводимые в лекции без подробного вывода.
Замечание 2. В лекции не рассматриваются примеры использования полученных формул, так как после подстановки в них конкретных функций задача сводится к технике интегрирования, которая рассматривалась в предыдущих лекциях.