Лекция 16. Оператор Гамильтона, его использование и свойства. Потенциальные векторные поля, условие потенциальности. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Соленоидальные и гармонические векторные поля.
Оператор Гамильтона.
Вспомним определение градиента скалярной функции u = u(x, y, z):
grad u = 
Определим оператор, стоящий в скобках в правой части этого равенства, так:
Определение 16.1. Оператор
(16.1)
называется оператором Гамильтона или набла-оператором и обозначается символом s
(«набла»).
При применении оператора Гамильтона удобно рассматривать его как «символический вектор» и использовать различные операции над векторами. Например:
1) если умножить «вектор» sна скалярную функцию и, то получим градиент этой функ-ции: su = grad u; (16.2)
2) составив скалярное произведение s на вектор A = {Ax, Ay, Az}, получим дивергенцию вектора A:
s· A = 
; (16.3)
3) перемножим теперь векторы s и А векторным образом. Результатом будет ротор вектора А:
s× А =
(16.4)
4) рассмотрим скалярное произведение векторов s и su = grad u:
s· (su) = div (grad u) = =
Определение 16.2. Оператор
Δ = s· s = s² = 
(16.5)
называется оператором Лапласа и обозначается символом Δ («дельта»).
Определение 16.3. Уравнение
(16.6)
называется уравнением Лапласа, а функция, удовлетворяющая ему – гармонической функцией.
Замечание. Отметим еще раз, результатом применения к скалярной функции и оператора Гамильтона является вектор, а оператора Лапласа – скаляр.
Потенциальные векторные поля.
Определение 16.4. Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется потенциальным, если вектор А является градиентом некоторой скалярной функции u = u(x, y, z):
A = grad u = 
. (16.7)
При этом функция и называется потенциалом данного векторного поля.
Примерами потенциальных полей являются поле тяготения точечной массы т, помещен-ной в начале координат, электрическое поле точечного заряда е, находящегося в начале координат, и другие.
Выясним, при каких условиях векторное поле является потенциальным. Так как из (16.7) следует, что 
то 
так как смешанная производная второго порядка не зависит от порядка дифференцирования. Из этих равенств легко получаем, что
rot A = 0 – (16.8)
- условие потенциальности векторного поля.
Определение 16.5. Векторное поле A = {Ax, Ay, Az}, для которого rot A = 0, называется безвихревым.
Из предыдущих рассуждений следует, что любое потенциальное поле является безвихре-вым. Можно доказать и обратное, то есть то, что любое безвихревое поле есть поле потен-циальное.
Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода
от пути интегрирования.
Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода 
, где L – кривая, соединяющая точки M и N. Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D, в которой целиком лежит кривая L. Определим условия, при которых рассматриваемый криволинейный интеграл зависит не от формы кривой L, а только от расположения точек M и N.
Проведем две произвольные кривые MPN и MQN, лежащие в области D и соединяющие точки M и N (рис.1).
Предположим, что
, то есть
Тогда 
, где L – замкнутый контур, состав-ленный из кривых MPN и NQM (следовательно, его можно считать произвольным). Таким образом, условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегриро-вания равносильно условию, что такой интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.
Теорема 16.1. Пусть во всех точках некоторой области D непрерывны функции P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные 
и 
. Тогда для того, чтобы для любого замкну-того контура L, лежащего в области D, выполнялось условие
,
необходимо и достаточно, чтобы 
= 
во всех точках области D.
Доказательство.
1) Достаточность: пусть условие 
=
выполнено. Рассмотрим произвольный замкну-тый контур L в области D, ограничивающий область S, и напишем для него формулу Грина:
.
Итак, достаточность доказана.
2) Необходимость: предположим, что условие 
выполнено в каждой точке области D, но найдется хотя бы одна точка этой области, в которой 
– 
≠ 0. Пусть, например, в точке P(x0, y0) 
– 
> 0. Так как в левой части неравенства стоит непре-рывная функция, она будет положительна и больше некоторого δ > 0 в некоторой малой области D`, содержащей точку Р. Следовательно,
Отсюда по формуле Грина получаем, что 
, где L` – контур, ограничивающий область D`. Этот результат противоречит условию 
. Следовательно, 
= 
во всех точках области D, что и требовалось доказать.
Замечание 1. Аналогичным образом для трехмерного пространства можно доказать, что необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла
от пути интегрирования являются:
. (16.9)
Замечание 2. При выполнении условий (16.9) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как
При этом функцию и можно найти по формуле
(16.10)
где (x0, y0, z0) – точка из области D, a C – произвольная постоянная. Действительно, легко убедиться, что частные производные функции и, заданной формулой (16.10), равны P, Q и R.
Пример. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода 
по произвольной кривой, соединяющей точки (1, 1, 1) и (2, 3, 4).
Убедимся, что выполнены условия (16.9): 
Следовательно, функция и существует. Найдем ее по формуле (16.10), положив x0 = y0 = z0 = 0. Тогда
. Таким образом, функция и определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Примем С = 0, тогда u = xyz. Следовательно, 
Соленоидальные и гармонические векторные поля.
Определение 16.6. Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется соленоидальным в области D, если в каждой точке этой области
div A = 0. (16.11)
Замечание. Так как дивергенция характеризует плотность источников поля А, то в облас-ти, где поле соленоидально, нет источников этого поля. Примером соленоидального поля может служить поле точечного заряда е во всех точках, кроме точки, где расположен заряд.
Условием соленоидальности поля является требование, что вектор А является ротором некоторого вектора В: A = rot B. Докажем это.
Действительно, если 
, то
div A = 
Определение 16.7. Скалярное поле, задаваемое функцией u = u(x, y, z), называется гармоническим в некоторой области, если функция и в этой области удовлетворяет уравнению Лапласа: Δ и = 0.
Примеры: линейная функция, потенциал электрического поля точечного заряда или поля тяготения точечной массы.