Разложение функции в степенной ряд. Единственность разложения

Лекция 6. Разложение функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций. Применение степенных рядов.

В предыдущих лекциях рассматривались степенные ряды, для которых в пределах области равномерной сходимости сумма ряда s(x) представляет собой непрерывную и бесконечно дифференцируемую функцию от х. Теперь поставим обратную задачу: найти степенной ряд, суммой которого является данная функция.

Определение 6.1. Представление функции в виде

                                                                  (6.1)

называется ее разложением в степенной ряд.

Теорема 6.1. Если функция  f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

1. функция f имеет на интервале (x0 – R , x0 + R) производные всех порядков, которые можно найти почленным дифференцированием ряда (6.1):                                                                    (6.2) 
2.                                     (6.3)
3. ряды (6.1), (6.2) и (6.3) имеют одинаковые радиусы сходимости.

Доказательство всех трех утверждений следует из общих свойств степенных рядов (теоремы 5.2 и 5.3).

Теорема 6.2. Если функция  f раскладывается в некоторой окрестности точки х0 в сте-пенной ряд (6.1), то  , и, следовательно, справедлива формула

                                                                                   (6.4)  

Доказательство.

Дифференцируя т раз равенство (6.1), получим:

Примем х = х0 , тогда  f(m)(x0) = m!am , что доказывает формулу (6.4).

Следствие. Если в некоторой окрестности заданной точки функция раскладывается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Действительно, из теоремы 6.2 следует, что коэффициенты степенного ряда могут иметь только вид, задаваемый формулой (6.4).

Определение 6.2. Пусть функция  f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в этой точке производные всех порядков. Тогда ряд

называется рядом Тейлора.

Пример. Найдем разложение в ряд Тейлора при х0 = 0 функции f(x) = 2x.

. Следовательно,

                      .

Определение 6.3. Если при разложении в ряд Тейлора принимается х0 = 0, то полученный ряд                                                             (6.5)

называется рядом Маклорена (см. предыдущий пример).

Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций.

В лекции 21 (1-й семестр) рассматривалось представление функции в виде многочлена Тейлора с остаточным членом. Поскольку коэффициенты ряда Тейлора и многочлена Тейлора вычисляются по одной и той же формуле, мы можем воспользоваться прове-денными в лекции 21 вычислениями для получения разложения в ряд Тейлора некото-рых элементарных функций. При этом обратим особое внимание на определение обла-сти сходимости полученных рядов.

1. . Сходимость полученного ряда исследовалась в примере 2 лекции 5, где показано, что он абсолютно сходится при любом х.

2. .

3. .

Используя формулу Даламбера для определения радиуса сходимости, найдем, что он равен бесконечности, то есть функции y = sin x и y = cos x раскладываются в ряд Тей-лора на всем множестве действительных чисел.

4. . Запишем остаточный член этой формулы в форме Лагранжа:

, и исследуем его поведение при для | x| < 1,

| x | > 1 и | x | = 1. При | x| < 1 , при | x | > 1 . Поэтому по теоре-ме 1.5 при  | x| < 1 ряд сходится, а при | x | > 1 расходится. При х = -1 ряд расходится, так как представляет собой гармонический ряд, все члены которого имеют знак «-», а при х = 1 получаем знакопеременный ряд, сходящийся условно по признаку Лейбница. Следовательно, областью сходимости полученного ряда является интервал (-1, 1].

5. . Найдем радиус его сходимости по формуле Даламбера: Следовательно, интервал сходимости – (-1, 1).

Формула Эйлера.

Используя разложения в ряд Тейлора функций ex, sin x и cos x , получим:

. Таким образом, доказана используемая в теории комплексных чисел формула Эйлера:

                    eiy = cos y + i sin y                                                               (6.6)

(см. лекцию 7, 2-й семестр).

Применение степенных рядов.

Возможность разложения функции в степенной ряд позволяет существенно упростить многие математические операции: вычисление приближенных значений данной функции, дифференцирование, интегрирование, поскольку степенной ряд можно заменить многочленом (с учетом того, что оценка остатка ряда не превысит заданного значения погрешности). В частности, можно приближенно вычислять «неберущиеся» интегралы, находить приближенные решения дифференциальных уравнений и т.д.

Рассмотрим вычисление интегралов с помощью рядов.

Примеры.

1. Для вычисления интеграла разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора, используя разложение функции ех:

Тогда =

С помощью этого равенства можно вычислить рассматриваемый интеграл при любом а с любой заданной точностью.

1. Вычислим интеграл , для чего разложим функцию в ряд:

– ряд, сходящийся при любом х. Интегрируя почленно, получим:

Приближенное решение дифференциального уравнения второго порядка   , удовлетворяющее начальным условиям .

Если предположить, что решение имеет вид: , то требуется найти значения производных от частного решения при х = х0 . Из начальных условий следует, что . Тогда из исходного уравнения получаем, что . Дифференцируя обе части исходного уравнения по х, найдем: откуда можно определить и т.д.

Пример. Найти решение уравнения при

Решение: и т.д.

Можно получить общую формулу для производных любого порядка:

. При х = 0 эта формула дает

                  .

Так как то в нуль обращаются все производные, порядок которых не кратен четырем. В конечном счете решение имеет вид: