Тема 1. Линейная алгебра
Теоретические вопросы
1.1. Что называется матрицей размеров 
?
1.2. Что называется порядком квадратной матрицы?
1.3. Какая матрица называется нулевой, диагональной, единичной?
1.4. Какие матрицы называются равными?
1.5. Что называется суммой, разностью двух матриц?
1.6. Какие операции над матрицами называются линейными?
1.7. В каком случае матрицу А можно умножить на матрицу В?
1.8. Что называется произведением матрицы А на матрицу В?
1.9. В каком случае существуют произведения АВ и ВА?
1.10. Какая операция называется транспонированием матрицы?
1.11. Что называется определителем матрицы n-го порядка?
1.12. Чему равны определители матриц размера 
?
1.13. Основные свойства определителей.
1.14. Что называется минором порядка S матрицы 
?
1.15. Какие значения может принимать число S – порядок минора матрицы 
?
1.16. Что называется алгебраическим дополнением элемента 
матрицы А порядка n?
1.17. Теорема о разложении определителя по элементам строки.
1.18. Теорема Лапласа.
1.19. Какая матрица называется невырожденной?
1.20. Какая матрица называется обратной данной матрице?
1.21. Для какой матрицы существует обратная матрица?
1.22. Формула нахождения матрицы, обратной матрице 
, при условии, что 
.
1.23. Что называется рангом матрицы?
1.24. Какие преобразования матрицы называются элементарными?
1.25. Что называется базисным минорам матрицы?
1.26. В каком случае 
строк матрицы называются линейно зависимыми, линейно независимыми?
1.27. Какие строки и столбцы матрицы называются базисными?
1.28. Теорема о базисном миноре.
1.29. Какой минор матрицы А называется минором, окаймляющим её минор М порядка k ?
1.30. Чему равно максимальное число линейно-независимых строк (столбцов) матрицы?
1.31. Какая система уравнений называется линейной?
1.32. Что называется матрицей системы и расширенной матрицей системы m линейных уравнений с n неизвестными?
1.33. Что называется решением системы m линейных уравнений с n неизвестными?
1.34. Сколько решений имеет невырожденная система?
1.35. Формулы Крамера.
1.36. Критерий совместности системы: теорема Кронокера-Капелли.
1.37. В каком случае система линейных уравнений имеет единственное, бесконечное множество решений?
1.38. Какие неизвестные совместной системы линейных уравнений называются базисными и какие – свободными?
1.39. Какая система линейных уравнений называется однородной?
1.40. Может ли однородная система линейных уравнений быть несовместной?
1.41. Необходимое и достаточное условие существования тривиального, нетривиального решения однородной системы линейных уравнений.
1.42. Что называется фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений?
1.43. При каком условии однородная система линейных уравнений имеет фундаментальную систему решений?
1.44. Сколько решений содержит фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений?
1.45. Что называют прямым, обратным ходом метода Гаусса?
1.46. Каково множество решений системы, если прямой метод Гаусса приводит матрицу системы к треугольному виду и все элементы главной диагонали отличны от нуля?
1.47. Совместна или несовместна система, если расширенная матрица системы после k – го хода метода Гаусса содержит строку, все элементы которой, кроме последнего, равны нулю?
1.48. Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений.
1.49. Что называется направленным отрезком, вектором?
1.50. Какие два вектора называются ортогональными, коллинеарными, компланарными?
1.51. Что называется базисом на плоскости, в пространстве?
1.52. Что называется разложением вектора по базису в пространстве?
1.53. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов a и b.
1.54. Какой базис называется ортонормированным?
1.55. Что называется радиусом-вектором точки М относительно декартовой прямоугольной системы координат (O; i; j; k)?
1.56. Что называется координатами точки М в декартовой прямоугольной системе координат (O; i; j; k)?
1.57. Чему равны координаты вектора 
в декартовой прямоугольной системе координат, если координаты точек 
, 
?
1.58. Чему равны координаты точки 
, делящей отрезок АВ в отношении α, если в декартовой прямоугольной системе координат известны точки 
, 
?
1.59. Что называется скалярным произведением двух векторов?
1.60. Выражение скалярного произведения двух ненулевых векторов с использованием проекции одного вектора на другой.
1.61. Свойства скалярного произведения.
1.62. Как выражается скалярное произведение через координаты векторов в декартовой системе координат?
1.63. Чему равна длина вектора через его координаты в декартовой прямоугольной системе координат?
1.64. Чему равно расстояние между точками 
и 
через их координаты в декартовой прямоугольной системе координат?
1.65. Чему равен угол φ между ненулевыми векторами a и b?
1.66. Необходимое и достаточное условие ортогональности векторов a и b.
1.67. Что называется направляющими косинусами вектора?
1.68. Чему равна работа, произведённая силой F, если точка её приложения, двигаясь прямолинейно, переместилась из точки А в точку В?
1.69. В каком случае векторы a, b, с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку?
1.70. Что называется векторным произведением двух векторов?
1.71. Каков геометрический смысл модуля векторного произведения двух неколлинеарных векторов?
1.72. Формула вычисления векторного произведения в координатном виде.
1.73. Основные свойства векторного произведения.
1.74. Чему равен момент силы F относительно точки А, если В – точка приложения силы F?
1.75. Чему равна величина момента равнодействующей трёх сил 
относительно точки В, если эти силы приложены в точке А?
1.76. Что называется смешанным произведением трёх векторов?
1.77. Каков геометрический смысл модуля смешанного произведения трёх некомпланарных векторов?
1.78. Формула вычисления смешанного произведения векторов в координатном виде.
1.79. В чём заключается необходимое и достаточное условие компланарности трёх векторов.
1.80. Чему равен объём треугольной пирамиды, построенной на трёх некомпланарных векторах a, b, с?