Вопросы к экзамену по курсу “Математика”
Уравнения в частных производных. Основные типы уравнений.
- Постановка основных задач: задача Коши, краевые задачи, смешанные задачи. Корректность постановки краевых задач.
- Уравнение колебаний струны. Задача Коши.
- Метод Д’Аламбера решения уравнения колебаний струны.
- Метод Фурье (разделения переменных) решения уравнений в частных производных. Решение волнового уравнения. Задача Штурма-Лиувилля.
- Уравнение теплопроводности. Метод разделения переменных решения задач теплопроводности.
- Применение интегральных преобразований в задачах для уравнений параболического типа.
- Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге методом Фурье.
- Методы теории функций комплексного переменного для уравнений Лапласа и Пуассона.
- Случайное событие. Испытания. Классическое определение вероятности.
- Вероятность и частота. Комбинаторные формулы.
- Алгебра элементарных событий. Аксиоматическое определение вероятности.
- Комбинации случайных событий, их вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- Зависимые и независимые события. Условные вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- Полная группа событий. Формула полной вероятности.
- Формула Байесса.
- Случайная величина. Функция распределения случайной величины.
- Дискретная случайная величина.
- Непрерывная случайная величина. Плотность распределения. Свойства.
- Математическое ожидание случайной величины. Свойства. Примеры.
- Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Свойства. Примеры.
- Моменты случайных величин.
- Совместное распределение случайных величин. Коэффициенты ковариации и корреляции.
- Функции случайных величин и их числовые характеристики.
- Законы распределения дискретных случайных величин: биномиальный, геометрический.
- Закон Пуассона.
- Равномерное распределение случайных величин.
- Нормальный закон распределения.
- Двумерные случайны величины, их функции распределения и числовые характеристики.
- Закон больших чисел.
- Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
- Выборка, эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
- Точечные оценки неизвестных параметров распределения. Методы получения оценок.
- Интервальные оценки неизвестных параметров распределения.
- Построение доверительных интервалов для математического ожидания.
- Проверка статистических гипотез. Критерий Пирсона.
- Критерии о математическом ожидании и дисперсии нормально распределенной случайной величины.
- Корреляция случайных величин.
- Линейная и нелинейная регрессия.
- Метод наименьших квадратов.