Метод фиктивной нагрузки

Метод фиктивной нагрузки

В предположении идеальности связей в механизме на основании принципа возможных перемещений – равенства нулю суммы элементарных работ – имеем:

где – проекция единичной обобщённой силы на линию движения ведомого звена, которая называется фиктивной нагрузкой; она прикладывается к ведомому звену по линии движения точки приложения, выражается в отвлечённых единицах и обычно принимается условно равной единице;

и – проекции противодействующих сил ведущих звеньев на направления линий движения точек их приложения и ;

– проекция обобщенных сил реакций в кинематической паре -го звена на элементарное обобщённое перемещение этого звена;

– число звеньев в механизме.

Силы , и могут быть заменены соответствующими моментами; тогда линейные элементарные отрезки должны быть заменены соответствующими углами .

Из уравнения (1), полагая , найдём выражения для ошибки положения механизма в виде:

 

С другой стороны, дифференцируя в частных производных функцию положения (ФП) с параметрами и с двумя ведущими звеньями, положения которых и , и заменяя значки дифференциалов значками , получим:

В этом выражении величина есть действующая неопределенность (ПО) -го звена, относящаяся к его параметру, т.е. элементарное обобщенное перемещение ; в формуле (2).

Из формулы (2) и (3), приравнивая соответствующие коэффициенты, получим:

На основании принципа независимости действия действующих неопределенностей и идеальности связей в механизме (потери на трение не учитываются) можно считать, что на перемещение геометрического элемента -го звена от любой его действующей неопределенности (П.П.) затрачивается работа, равная работе перемещения ведомого (n-l)-гo звена всего механизма; работа же всех промежуточных звеньев ввиду одинаковости перемещений их геометрических элементов от действующих неопределенностей (П.П.) в этих звеньях в данном случае равна нулю. Иными словами, каждый коэффициент влияния в звене может рассматриваться как проекция реакции в этом звене, вызванная единичной фиктивной силой (моментом), приложенной к ведомому звену механизма, на направление обобщённой (имеется ввиду геометрическая сумма) действующей неопределенности данного звена.

Отсюда справедлива следующая система уравнений:

где – проекция обобщённых составляющих сил в кинематической паре -го звена на элементарное обобщённое перемещение этого звена.

Таким образом, для определения коэффициента влияния действующей неопределенности необходимо:

1.        Любым из известных способов определить величины и направления составляющих сил в кинематических парах идеального механизма, находящегося в равновесии под действием фиктивной единичной силы или фиктивного единичного момента, приложенного к ведомому звену механизма, и соответствующей силы (момента), приложенной к ведущему звену;

2.        Определить углы между направлениями составляющих сил и направлениями соответствующих действующих неопределенностей;

3.        Написать выражения для проекций составляющих сил на направления действующих неопределенностей, которые и являются искомыми коэффициентами влияния действующих неопределенностей.

Для расчёта неопределенности механизма, вызванной известными по величине действующими неопределенностями, зная коэффициенты влияния действующих неопределенностей можно вывести фундаментальную формулу, связывающую положение ведомого и ведущего звеньев, что является конечной целью метода.

Пример 7:

Рассмотрим, например, идеальный кривошипно-шатунный механизм (рис. 7.18.), уравнение которого имеет вид .

Попытаемся найти передаточные отношения при следующих трех действующих неопределенностях:

– ошибка длины кривошипа;

– ошибка длины шатуна;

– дезаксиал механизма (т.е. не прохождение оси поступательной пары через ось кривошипа).

Рис. 7.18. Схема кривошипно-шатунного механизма.

 

Решим задачу нахождения коэффициентов влияния для кривошипно-шатунного механизма способом фиктивной нагрузки. К ведомому звену 3 приложим фиктивную силу , направленную по оси поступательной пары (рис. 7.19.).

Рис. 7.19. Определение передаточных отношений методом фиктивной нагрузки.

 

Поскольку мы предполагаем, что сила уравновешивается некоторым моментом , приложенным к ведущему звену (кривошипу) механизма, то реакции во всех кинематических парах могут быть определены из рассмотрения силового треугольника, представляющего условия равновесия ползуна (рис. 7.20).

Примечание: момент, т.е. пара сил является в данном случае обобщённой силой, соответствующей координате ведущего звена.

Проектируем силы реакции, приложенные с элементом кинематических пар, смещения которых в теле соответствующих звеньев рассматриваются как действующие ошибки на направление обобщённых действующих ошибок звеньев .

Находим выражения для передаточных отношений.

Т.к. – составляющая силы – в точке для звена 3 направлена параллельно дезаксиалу , а величина, что следует из силового треугольника (рис. 20,6) для точки , то

Из того же силового треугольника:

Из силового треугольника, построенного для точки (рис. 4, в).

Как видно, метод фиктивной нагрузки проще всего приводит к цели. Фиктивная нагрузка настолько проста, что статический расчёт механизма не представляет никаких затруднений. В несложных механизмах реакции могут быть определены аналитически, в многозвенных механизмах целесообразнее пользоваться графическими приёмами.

Метод плеча и линии действия.

Данный метод был разработан профессором Н.А. Калашниковым в созданной им теории реальных механизмов применительно, главным образом, к механизмам с высшими парами – зубчатым, кулачковым и подобным им. По этой теории можно ошибки механизма представить как приращения обобщённого плеча, перпендикулярного к линии действия некоторой обобщённой силы, отчего метод и носит название метода плеча и линии действия.

Пример 8:

На рисунке показан кулачковый механизм и его условная схема:

Рис. 7.20. Кулачковый механизм и его схема.

и – обобщённые плечи

и – радиусы кривизны поверхностей кулачков в точке контакта;

и – их центры;

и – радиус-векторы кулачков.

Данный кулачковый механизм может быть заменён преобразованным шарнирным четырёхзвенником – механизмом с шарнирами в точках . Такой преобразованный механизм может быть использован для нахождения коэффициентов влияния действующих неопределенностей радиусов кривизны и, что даёт суммарную неопределенность в размере шатуна, а также люфтовые неопределенности в шарнирах и.

Понятно, что люфтовые неопределенности в шарнирах и в данном случае не должны приниматься во внимание, т.к. четырёхзвенник является лишь схемной заменой кулачкового механизма и действующие неопределенности должны учитываться только для этого последнего механизма.

Теория Калашникова годится и для шарнирных механизмов; здесь за прототип принимается шарнирный четырёхзвенник с обобщёнными плечами и (рис. 7.20, б).

В теории Калашников рассматривает неопределенности, возникающие при изготовлении и эксплуатации механизма, в виде приращения , вызванного избыточным изменением обобщённого плеча из-за ошибок подвижных звеньев, и выражает эти неопределенности в виде уравнения:

Здесь соответствует аргументу, по которому исследуется процесс; если исследуется процесс изготовления кулачка, то аргументом является угол его поворота :

где – неопределенность размера (формы) подвижного звена.

Недостатки метода:

  • сложен переход от исследования неопределенностей каждого звена по его аргументу к исследованию по единому аргументу – углу (р, не учтено влияние неопределенностей некоторых звеньев (шатуна, в шарнирном четырёхграннике, а также неопределенностей неподвижного звена – стойки).

Профессор Б.А. Тайц предлагает дополнить формулу и представить её в виде:

где – приращение, создаваемое неопределенностями, направленными непосредственно по линии действия или параллельно ей.

– неопределенность размера и формы неподвижного звена – стойки;

– угол между направлением ошибки неподвижного звена и линии действия. Но и при пользовании этой формулой необходимо иметь в виду, что первый её член даёт накопленную ошибку – дискретные ошибки.