Теоретические неопределенности.
Теоретические неопределенности изделий. Причины появления.
Причинами теоретических неопределенностей, являются допущения, принимаемые непосредственно или вынужденно в процессе проектирования устройств. В действительности встречаются три вида допущений и три группы теоретических неопределенностей соответственно: структурные допущения, относящиеся к функциям преобразования движения (ФПД) и порождающие схемные теоретические неопределенности; параметрические допущения, связанные с округлением иррациональных значений параметров, что приводит к появлению теоретических действующих неопределенностей; конструктивные допущения, которые приводят к искажению исходной схемы при разработке высших кинематических пар.
Существует формула учета всех неопределенностей:
(5.)
где 
– суммарная неопределенность изделия;
– теоретическая неопределенность (допущение);
– сумма технологических, материалов, эксплуатационных неопределенностей;
Т.к. 
возникает из-за принятых допущений, то существует возможность рассчитать ее значение (как приведено ниже) и учесть при ПНТ.
(5.)
(5.)
Виды теоретических неопределенностей изделия.
- Схемные теоретические неопределенности .
Рис. 5.1. Индикатор часового типа.
Структурные допущения принимаются в основном в двух случаях: при необходимости обеспечить высокую точность и стремление к упрощению конструкции устройства.
При разработке высокоточных измерительных устройств с заданной линейной ФПД иногда не удается составить всю структурную цепь устройства из одних линейных структурных элементов ввиду отсутствия среди набора известных структурных элементов, элемента требуемой точности. Обычно это относится к первому структурному элементу, выполняющему прием и первичное преобразование входного сигнала, т.к. наиболее высокие требования к точности предъявляются именно к нему. Если среди нелинейных структурных элементов существует элемент, обеспечивающий требуемую точность, то приходится применять этот элемент и линеарилизовать ФПД.
В стрелочном индикаторе часового типа ИЧ11-10, имеющим цену деления шкалы отсчетного устройства 0,01 мм (рис. 5.1.) первичное преобразование перемещения измерительного стержня 1 в угол поворота стержня 6 выполняет зубчато-реечная передача 2-3. Зубчато-реечная передача имеет линейную ФПД. Структурных допущений нет, следовательно, нет и схемных теоретических неопределенностей.
Однако зубчатая передача имеет слишком большую технологическую неопределенность и получается, что суммарная инструментальная неопределенность головки 
. Когда потребовалась более высокая точность контроля длин по сравнению с точностью индикатора, то это и послужило причиной применения не линейного рычажного механизма на входе многооборотной измерительной головки (рис. 5. 2а.), поскольку площадку малого размера на торце измерительного стержня, выполняющую роль кулисы, и сверху на конце рычага 3 вполне реально изготовить (отрегулировать) с точностью до долей микрометра. Так у МИГ 1 с ценой деления 0,01мм 
|
|
Рис. 5.2. Схемная теоретическая неопределенность:
а) схема измерительного прибора с нелинейным схемным элементом на входе (многооборотная измерительная головка 1МИГ)
б) схема для ввода расчетной формулы при синусном рычаге;
в) схема для ввода расчетной формулы при тангенсном рычаге.
Так как кривошипно-кулисный механизм 1-2-3 (рычажный механизм) имеет нелинейную ФПД, вводится схемная теоретическая неопределенность (рис. 5.2.).
Найдем формулу схемной теоретической неопределенности 1МИГ. Для этого составим выражения для точной и приведенной ФПД. Из рис 2,а, и 2
,б. Следует, что ФПД имеет вид:
(5.)
ФПД явно не линейна, а шкала прибора равномерна.
Линеаризованная шкала данного измерительного прибора размечается по линейной функции:
(5.)
Следовательно:
(5.)
Данная зависимость позволяет выполнит расчет неопределенности, однако, учитывая малый угол α, можно упростить вычисления, выразив неопределенность через разложение в ряд 
. Ограничив разложение двумя членами, получим:
(5.)
Если рычаг выполнить по тангенсной схеме рис 2(в), то исходное выражение нелинейной ФПД будет иметь вид:
(5..)
а – теоретическая неопределенность
(5.)
Значит, тангенциальная схема менее выгодна, поскольку величина ее схемной теоретической неопределенности вдвое больше, чем у синусной.
Диапазон 1-МИГ
Рис. 5.3. Функция схемной теоретической неопределенности от выходной координаты.
График неопределенности 14 изображен на рисунке 5.3., где горизонтальными линиями ограниченно поле допуска. Точки пересечения этих линий с графиком определяют номинальные границы возможного диапазона измерения
Отсюда, сделаем вывод, что для определения схемной теоретической неопределенности необходимо составить точную ФПД устройства – она всегда нелинейна. Затем выбрать приближенную ФПД, с помощью которой выполняется линеаризация точной функции; разность выходных координат обеих функций.
2. Параметрические теоретические неопределенности.
Округление иррациональных значений параметров устройства до нормированных значений приводит к их неопределенностям представляющих теоретические первичные неопределенности. Результатом действия этих первичных неопределенностей являются теоретические неопределенности функционирования устройств. Рассмотрим стрелочный индикатор часового типа (рис. 1)
Функция преобразования движения
(5.)
– модуль зацепления шестерни 3 и зубчатой рейки 2
Z3, Z4, Z5 – числа зубьев колес измерительной цепи индикатора.
Шкала прибора имеет 100 делений с угловым интервалом 
, а цена деления шкалы 0,01 мм.
Масштаб преобразования цепи и прямая передаточная функция шкалы:
(5.)
(5.)
Приравнивая эти выражения получаем:
(5.)
При определении параметров на основе этой формулы одним из них в данном случае, очевидно, модуль зацепления, – получит иррациональное значение. В индикаторе, выпускаемом промышленностью, на основании конструкторских и технологических условий числа зубьев выбраны: Z3 =16 Z4 =100 Z5 =10, подставив эти значения в формулу (10) и решив ее относительно модуля, получим m= 0,1989437886 мм. Очевидно, на практике такое иррациональное значение модуля реализовать нельзя, поэтому в существующем индикаторе принимаем специальный модуль 0,199 мм, с округлением против расчетного примерно на 0,000056 мм.
Найдем неопределенность от этого округления.
Для этого необходимо формулу 4.7 продифференцировать по модулю m. При измерении в пределах всего диапазона Х=10 мм при значении модуля m-0,199 мм и округлении его на Δm=0,000056 мм
(5.)
получаем результат
Δy=0.01767 рад
неопределенность на выходе для упрощения приведем к линейным величинам, которые снимаются как показания прибора. Так как полный оборот стрелки соответствует 1000 мкм, то при отсчете величина неопределенности составит
ΔYx= Δy*1000/2*π=2.8 мкм
Как видно неопределенность достигает почти 30% от допустимой неопределенности индикатора, а это весьма существенно. Ближайший к расчетному стандартный модуль m=0,2 мм не может быть применен, так как при этом теоретическая неопределенность достигнет 
, мкм, что более чем в пять раз превосходит допустимую. Из рассмотренного примера видно, что такого рода неопределенности всегда имеют место в механизмах, в которых поступательное движение преобразуется во вращательное и круглая шкала замкнута на 2π рад.
3. Конструктивные теоретические неопределенности.
Определение некоторых параметров устройства производится при разработке его схемы, когда высшие кинематические пары идеализированы, т.е рассматриваются как математические точки или линии. Так, при расчете координат профиля кулачка исходят из теоретической схемы, рис 5.4.а.
Рис. 5.4 Конструктивная теоретическая неопределенность
в кулачковом механизме:
а – теоретическая исходная схема;
б – замена идеальной конструктивной пары реальной и возникновение неопределенности;
в – переход от расчетного профиля к эквидистанте, у которой сопряжения кулачка с толкателем представляет собой математическую точку А0. Это характерно и для рычажных механизмов.
В кулачковом механизме (рис. 5.4 а, б) на конце толкателя располагается сфера, которая в контакте с профилем кулачка образует физическую точку. Такая замена теоретической схемы без корректирования профиля кулачка приведет к теоретической неопределенности положения толкателя 
. Из рисунка видно, что из-за смешения точки контакта из положения А0 в положение А произойдет отрыв толкателя от профиля точке А0 , в которой он находился при расчете профиля. Возникающая при этом неопределенность положения равна
(5.)
где 
– угол давления;
– радиус сферы.
При переменном значении угла давления, сферы β, будет неизбежна неопределенность перемещения, равная
(5.)
Этой ошибки могло бы и не быть, если указанную замену выполнить с одновременным корректированием профиля кулачка: для этого необходимо центр сферы С поместить на теоретической линии профиля кулачка (рис. 5.4, в), а реальный рабочий профиль выполнить по эквидистантой кривой. В ответственных случаях так именно и поступают на практике.
При обработке профиля кулачка по точкам необходимы: либо расчет координат и теоретического, и эквидистантного профиля, что обычно сопряжено со значительными формульными и вычислительными трудностями, либо выбор инструмента, подобного размерам элемента кинематической пары толкателя для обработки реальных точек профиля, что не всегда возможно (при малых радиусах сферы или ролика). При обработке профиля по копиру требуется приспособление, обеспечивающее определенное согласование положений и размеров ролика копира и обрабатывающего шлифовального круга с размерами и положением сферы толкателя. Иногда профиль кулачка выполняется по известным кривым, например, спираль Архимеда, для изготовления которых существуют простые и известные способы. В этом случае при обработке профиль выполняется строго по заданной кривой, а не по эквидистанте, указанная теоретическая неопределенность будет иметь место, и для ее уменьшения стремятся уменьшить, сколько возможно, радиус сферы. Все выводы справедливы и для конструкций, когда на конце толкателя имеется не сфера, а ролик.
4. Методы минимизации теоретических конструктивных неопределенностей и сохранения линейности функции преобразования движения.
Наиболее ярко конструктивные теоретические неопределенности проявляются в конструкторском исполнении высших кинематических пар рычажных механизмов, при этом функция преобразования движения искажается дополнительно.
Рычажные механизмы с высшими кинематическими парами показаны на рисунке 5. Исходная схема (рис. 5.5 а) имеет идеализированные пары и линейную функцию преобразования движения.
(5.)
Переход к реальным кинематическим парам показан на рис. 5.5. б,в,г.
Условиями сохранения линейности функции преобразования движения и минимизации конструктивных неопределенностей в рычагах механизмов являются:
- симметрия схем элементов на входе и выходе;
- совмещение центров сфер с положениями идеализированных кинематических пар.
Однако эти условия по разным причинам не редко не выполняются, что приводит к появлению теоретических неопределенностей.
Нарушение условия симметрии (рис 5.5, г) преобразует линейную функцию преобразования движения в нелинейную вида:
(5.)
где a-угол поворота рычага.
Нарушение условия совмещения показано не рис. 5.5. д., где рычаг выполнен не правильно, правильная, хотя и менее технологичная конструкция рычага приведена на рис. 5.5. e
Особенности теоретических неопределенностей и их компенсация.
Три вида допущений, являющихся источниками теоретических неопределенностей, принимаются при проектировании точных устройств различного назначения, но наиболее часто в измерительных устройствах, где удается достигнуть точности выше производственного уровня и существенно упростить конструкцию.
Рис. 5.5. Схемы рычажно–винтовых головок.
а – исходная идеальная модель;
б – рычаг с синусным схемным элементом и реальными парами;
в – рычаг с тангенсными схемными элементами;
г – рычаг с нарушенным условием симметрии;
д – конструктивный вариант рычага с нарушенным условием совмещения;
е – конструкция рычага, удовлетворяющая условиям совмещения и симметрии.
Теоретические неопределенности имеют следующие особенности:
- теоретические неопределенности в виде структурных допущений являются эффективным средством в борьбе за технологическую точность, часто они позволяют преодолеть производственный уровень точности и достичь технического уровня точности не технологическим, а чисто конструктивным путем;
- действующими показателями точности для всех трех теоретических неопределенностей являются неопределенности перемещения. Все эти неопределенности не случайны и относятся, следовательно, к наиболее сильно влияющим систематическим неопределенностям устройств;
- схемные теоретические неопределенности снижают метрологические характеристики измерительных устройств, например, вынуждают ограничивать диапазон измерения. Происходит это потому, что эти неопределенности являются быстро возрастающими с увеличением выходной координаты
Отсюда можно сделать вывод, что наряду с преимуществами, которые дает принятие допущений, особенно структурных, возникают ограничения, снижающие другими показателями качества измерительных устройств. Отсюда весьма актуально знание методов, выработанных практикой для ослабления действия упомянутых ограничений, т.е методов компенсации.
Наиболее актуальна компенсация схемных теоретических неопределенностей, т.к. именно они являются основной причиной резкого сокращения диапазона измерений. В простейших случаях при наличии измерительной цепи только одного нелинейного схемного элемента для компенсации ошибок необходимо и достаточно применить регулировку длинны рычага. Рассмотрим эту компенсацию на примере рычажного синусного механизма.
Рис. 5.6. Рычажно-синусный механизм.
Функция преобразования движения 
Схемная теоретическая неопределенность этого механизма показана в виде графика на рис. 5.7 а.
Рис. 5.7. Компенсация системной теоретической неопределенности:
а – неопределенность синусного рычажного механизма;
б – суммарная неопределенность после регулировки длины рычага (диапазон увеличился).
Предположим, что длину рычага r можно плавно изменять регулировкой, в этом случае появится первичная неопределенность 
. Определим характер ее влияния на выходную координату 
:
(5.)
Продифференцируем 16 по r, после преобразования получи формулу:
(5.)
выражающую зависимость неопределенности выходной координаты от неопределенности длины кривошипа. Знак неопределенности зависит и от выбранного направления регулировки.
Формула теоретической неопределенности выходного элемента
(5.)
В случае положительной 
при суммировании двух неопределенностей произойдет их взаимная компенсация. Если при этом поставить цель наиболее возможного расширения диапазона измерения, то необходимо изменить длину кривошипа так, чтобы остаточная ошибка оказалась симметричной относительно оси абсцисс, как это показано на рис 5.7. б. Из сравнения графиков видно, что рабочий диапазон при этом расширяется существенно. В некоторых случаях одной регулировки бывает не достаточно, выбор необходимого и достаточного числа регулировок в этом случае делается на основе исследования особенностей конкретной схемы и конструкции устройства.
Стоит еще раз подчеркнуть, что теоретические неопределенности, вызваны допущениям, принимаемыми при проектировании устройств необходимо исключать из процедуры ПНТ (см. формулы 5.1-5.3).