Особенности комплексирования случайных неопределенностей

Особенности комплексирования случайных неопределенностей

Вероятностные характеристики случайных неопределенностей и их композиция.

Неопределенности, присущие изделию в целом (например, функциональные неопределенности) и его составным частям (функциональным устройствам, конструктивным узлам, конструктивным цепям, соединениям деталей, деталям), подразделяются на систематические и случайные.

К случайным неопределенностям относятся все виды технологических и некоторые эксплутационные неопределенности (деформации, смешения), характерным их признаком является рассеяние в процессе возникновения вследствие действия множества однородных нестабильных, неподдающихся учету факторов. Отдельные случайные неопределенности рассчитывать нельзя, их можно только определить экспериментально, конкретные значения этих неопределенностей на этапе проектирования определить невозможно. В руководстве по выражению неопределенностей существует разделение на неопределенности по типу А (обрабатываемые с помощью вероятностных методов) и по типу В (любыми другими способами). В связи с этим все виды расчетов случайных неопределенностей, выполняемых при проектировании, основаны на некоторых допущениях. Существует два подхода (метода) комплексирования случайных неопределенностей:

1. Метод максимума и минимума.
2. Вероятностный метод.

При расчетах отдельных случайных неопределенностей допущение состоит в принятии для действительной неопределенности предельного значения, т.е. оценка степени влияния отдельных неопределенностей производится по наиболее неблагоприятному случаю.

На этом принципе основан метод максимума и минимума. Так же рассчитываются неопределенности, для которых неизвестны законы распределения источников их возникновения (деформации от случайных сил, износ деталей, деформации от сил трения проскальзывания). Если законы распределения случайных величин неизвестны, то в руководстве по выражению неопределенностей предлагается следующее: если о законе ничего неизвестно, то предполагается самый худший вариант, что закон – равновероятный, если информация есть, но ее недостаточно, то закон – Симпсона, если информации достаточно, то – закон нормального распределения.

Если законы распределения источников известны, то возможен расчет с помощью вероятностного метода, основанного на положениях теории вероятности. Вероятностный метод является более точным и экономически выгодным по сравнению с методом максимума и минимума, так как он позволяет значительно расширять допуски составляющих параметров при одном и том же заданном допуске исходного параметра.

Нормальным случаем расчета неопределенностей является расчет неопределенности для партии приборов, поэтому к отдельному экземпляру прибора (например, опытному образцу прибора) он не относится. Однако, на практике и в этом случае принимают такой расчет, основываясь на известном положении о соответствии технологических процессов изготовления и сборки для образца и серийного изделия; для принятия такого допущения, как правило, имеются достаточные основания. Кроме того, при изготовлении опытных образцов приборов всегда имеется достаточно средств для компенсации неопределенностей расчета. В отдельных случаях для опытных образцов применяют расчет на точность по предельным значениям источников.

В точностных расчетах изделия случайные неопределенности, как правило, задаются в виде интервалов рассеяния (полей допусков) параметров. На основании этого с помощью вероятностного метода каждый конструктивный параметр (размер, массу, электрические характеристики и т.д.) можно представить следующим образом (рис 10.1.):

               (10.)

               (10.)

               (10.)

где: – интервал значений конструктивного параметра А;

– номинальное значение конструктивного параметра А;

       – математическое ожидание, наиболее вероятное значение среднего отклонения.

Рис. 10.1. Вероятностное представление конструктивного параметра.

Руководство предлагает представление параметров другим образом

               (10.)

где – расширенная неопределенность.

               (10.)

где – коэффициент охвата.

– суммарная стандартная неопределенность.

Тогда выражение (1) примет вид:

               (10.)

где можно представить как , для проектировочных расчетов можно считать что , тогда

– индекс пригодности процесса, который учитывает центровку процесса;

– индекс воспроизводимости, определяется как .

– верхнее отклонение параметра,

– нижнее отклонение параметра,

– среднее отклонение параметра,

Рассеивание случайной величины характеризуется так же средним квадратическим отклонением . Его обычно принимают равным . В случае, когда , поле допуска накрывается кривой рассеивания Р=0,99.

Рис. 10.2. Распределение Гаусса, когда .

Допуски размеров деталей конструктор определяет, руководствуясь рядом соображений. Основные из них – опыт изготовления аналогичных изделий (наличие оборудования, оснастка, традиции) и результаты расчета допусков. При изготовлении изделий приходится периодически отлаживать технологический процесс и корректировать чертежи деталей. В этих случаях важно знать точностные возможности оборудования и технологической оснастки, что позволит более обоснованно устанавливать допуск на размер деталей.

Очень важно соблюдать соответствия допусков размера и технологии обработки деталей. Так, например, теоретический технологический процесс по своей точности должен реализовывать диапазон рассеяния, соответствующий полю допуска. Однако могут возникнуть случаи, когда технологический диапазон рассеяния меньше поля допуска (рис. 10.3а.), либо диапазон рассеяния больше поля допуска (рис. 10.3 б.). Для обеспечения принципа взаимозаменяемости процесс на рис. 10.3. б неприемлем.

Рис. 10.3. Неравенство зон рассеивания и допуска, когда .

В расчетах на точность, несоответствие между допуском и допуском рассеивания конструктивного параметра можно учитывать через индекс пригодности процесса . Так, например, при распределении по закону Гаусса при ; при (рис. 3,б) и при (рис. 10.3 а.).

Как видно из схемы (рис 10.1.), разность есть величина асимметрии, имеющая размерность случайной величины (мм, м). Эта же разность, отнесенная к допуску, есть безразмерная величина, т.е. . В качестве начала отсчета принимают координату . Если математическое ожидание  располагается правее координаты (рис. 10.4а.), то асимметрия положительна ; если левее (рис. 10.4б.), то коэффициент асимметрии отрицателен . Для распределений, в которых (рис. 10. 4б.), коэффициент.

Рис. 10. 4. Виды асимметрии:

а) коэффициент асимметрии положительный (α>0);

б) коэффициент асимметрии отрицательный (α<0);

в) коэффициент асимметрии (α=0).

Наиболее часто рассеивание параметров подчиняется закону Гаусса (нормальному распределению). Для него , т.к. , и в связи с тем, что , коэффициент относительной асимметрии α=0.

Точность изделия зависит от точности всех входящих в него параметров. Показатель точности изделия задается техническими требованиями и является исходным для расчета допусков параметров. Функция распределения исходного параметра определяется числом влияющих параметров, составляющих расчетную схему, законами их распределения, соотношением допусков влияющих параметров.

Известно, что при компонировании двух равновероятностных распределений с одинаковыми допусками суммарное распределение подчинено закону Симпсона (рис. 10.5а.). Следовательно, при увеличении в расчетной схеме числа влияющих параметров, суммарное распределение конечного размера стремится к симметричному распределению по закону Гаусса.

При компонировании двух распределений по закону Симпсона суммарное распределение мало отличается от закона Гаусса (рис. 10.5 б.).

Рис. 10.5. Варианты компонирования законов распределения.

При точностных расчетах приходится иметь дело не с одной, а с множеством влияющих случайных неопределенностей.

Анализ случайных неопределенностей производится, как правило, уже на стадии соединений и конструктивных цепей. Это касается действительных технологических неопределенностей. На стадии функциональных устройств методы учета те же. Единственное отличие, что на этой стадии могут использоваться комплексные технологические неопределенности. Проектирование норм точности (учет неопределенностей) на любой вышерассмотренной стадии – это расчет размерной цепи в общем смысле слова, а точнее параметрической цепи.

Задача обобщенной параметрической цепи заключается в определении АΣ.При сборке изделия параметр АΣ формируется последним, поэтому его называют иногда конечным или замыкающим параметром. Иногда АΣ задается техническими требованиями и является исходным для расчета допусков, поэтому параметр АΣ называется так же исходным параметром. В соответствии с вышесказанным исходный параметр АΣ есть диапазон значений со своими границами:

               (10.)

               (10.)

               (10.)

Согласно этим формулам для нахождения АΣ проектировочный расчет на точность включает три этапа:

1. Расчет точностных параметров изделия. Для данного расчета используют линейную функцию

        – для метода максимума – минимума        (10.)

        – для вероятностного метода

где: АΣ – показатель точности изделия,

Ai- показатель точности каждого параметра, являющийся аргументом функции и называемый так же влияющим параметром,

Сi- коэффициент влияния каждого из параметров на замыкающий параметр.

1. Определение соотношения допусков звеньев параметрической цепи

        – для метода максимума – минимума        (10.)

        – для вероятностного метода

При отсутствии корреляции между случайными величинами

        – для метода максимума – минимума        (10.)

        – для вероятностного метода

3. Определение отношений математических ожиданий замыкающего параметра и составляющих звеньев.

В общем случае математическое ожидание

        – для метода максимума – минимума        (10.)

        – для вероятностного метода

Если заменить математическое ожидание числовыми характеристиками, то получим выражение:

               (10.)

Из формулы (10.6.) среднее отклонение замыкающего параметра

               (10.)

В этих формулах:

– среднее отклонение влияющего i-го параметра,

– допуск влияющего i-го параметра,

– коэффициент влияния,

– коэффициент корреляции,

– допуск исходного параметра,

Коэффициенты и αΣ иногда принимают по следующим рекомендациям.

Принимают коэффициент αΣ =0, если выполняется одно из условий:

• коэффициенты влияющих параметров αi=0,
• среди влияющих параметров с любыми законами распределения есть два или более параметра, имеющих αi=0 и доминирующие допуски,
• среди влияющих параметров с любыми законами распределения имеется пять или более параметров с однородными по величине допусками.

Под однородными по величине считают допуски, различающиеся примерно на 30%.

Принимают индекс пригодности процесса , если выполняется одно из условий:

• коэффициент влияющих параметров ;
• среди влияющих параметров с любыми законами распределения есть два или более параметра, имеющих и доминирующие допуски;
• среди влияющих параметров с любыми значениями распределения имеется пять или более параметров с однородными по величине допусками;

Если перечисленные условия не выполняются, то приближенные значения коэффициентов , αΣ вычисляют по следующим формулам:

               (10.)

               (10.)

Точность коэффициентов , αΣ , определяемых по этим формулам, для практических расчетов вполне достаточна.

Вероятностный метод расчета позволяет значительно расширить допуски составляющих параметров при одном и том же законном допуске исходного параметра, что упрощает и удешевляет производство.