2.2. Периодические негармонические сигналы

2.2. Периодические негармонические сигналы

Спектр периодического сигнала (ряд Фурье). Простейшим периодическим сигналом является гармоническое колебание (2.1), которое можно записать в следующем виде:

                 (2.16)

где и – амплитуда, период, частота и начальная фаза соответственно.

Любой сложный периодический сигнал может быть представлен в виде суммы элементарных гармонических сигналов (2.16).

Пусть заданная в интервале функция периодически повторяется с частотой , где – период повторения, причём выполняются следующие условия:

1.        в любом конечном интервале функция непрерывна или имеет конечное число разрывов первого рода;

2.        в пределах одного периода функция имеет конечное число максимумов и минимумов.

Подобная функция может быть представлена рядом Фурье в тригонометрической форме:

         (2.17)

Здесь – среднее значение функции за период или постоянная составляющая, а и – амплитуды косинусоидальных и синусоидальных членов разложения .

Эти величины определяются выражениями:

                 (2.18)

Выражение (2.17) можно представить в виде суммы только косинусоид или только синусоид, но с различными фазами, например

                         (2.19)

где амплитуда и фаза n-ой гармоники определяются выражениями

                                                 (2.20)

                                                 (2.21)

Совокупность значений и называется спектром функции . График амплитудного спектра (2.19) изображён на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Графическое представление спектра периодической функции.

Из выражения (2.19) и рис. 2.6 видно, что спектр периодической функции (сигнала) состоит из отдельных линий, отображающих в заданном масштабе амплитуды гармоник (2.20), соответствующих частотам и т.д. Такой спектр называется линейчатым или дискретным. Для полной характеристики сигнала необходимо вычислить по формуле (2.21) фазу каждой гармоники.

Многие математические процедуры, связанные с анализом спектров электрических сигналов, значительно упрощается, если вместо тригонометрических формул (2.17) и (2.19) использовать комплексную форму записи ряда Фурье, которую можно получить из выражения (2.17), используя формулу Эйлера:

                                 (2.22)

После подстановки (2.22) в (2.17) и выполнения преобразований получим ряд Фурье в комплексной форме:

                                         (2.23)

Комплексная амплитуда и фаза n-ой гармоники определяются выражениями:

                 (2.24)

                                                 (2.25)

Подставив значения и из (2.18) в (2.24), получим

                                 (2.26)

Из полученных выражений следует, что структура спектра периодического сигнала полностью определяется двумя характеристиками: амплитудной и фазовой, т.е. модулем и аргументом комплексной амплитуды.

Действующее значение периодического несинусоидального сигнала определяется согласно (2.3), где необходимо представить в виде ряда Фурье. При разложении только по косинусоидальным составляющим будем иметь

.

Подставим это значение тока в (2.3) и после интегрирования получим

.

Видно, что действующее значение периодического негармонического тока равно сумме действующих значений его гармоник и не зависит от их начальных фаз .

Действующее значение периодического несинусоидального напряжения находим аналогично

Среднее значение периодических несинусоидальных тока и напряжения определяются согласно выражениям (2.4)

Активная мощность периодического несинусоидального сигнала определяется по формуле

а ток и напряжение имеют вид

где – сдвиг фаз между током и напряжением k-й гармоники.

Учитывая значения тока и напряжения и выполняя интегрирование,  получаем

Видно, что средняя за период активная мощность периодического негармонического сигнала равна сумме мощностей отдельных гармоник.

Последовательность прямоугольных видеосигналов. Рассмотрим последовательность видеосигналов (рис. 2.7) с амплитудой , периодом повторения и длительностью .

Для определения спектра последовательности видеосигналов воспользуемся рядом Фурье (2.23). Согласно (2.26) комплексная амплитуда n-й гармоники с учётом того, что на основании

                         (2.27)

будет равна

Домножим числитель и знаменатель на и учтём формулу (2.22), получим

                 (2.28)

где – скважность импульсов.

Подставив значение в уравнение (2.23), получим спектр последовательности видеосигналов в форме разложения в ряд Фурье

         (2.29)

Из (2.29) видно, что амплитуды гармоник будут равны нулю, когда . Это условие будет выполняться, когда , откуда  . Таким образом, гармоники кратные скважности импульсов (q) в спектрах (рис. 2.8) отсутствуют

На основании выражений (2.28) и (2.29) и рис.2.8 можно сделать следующие обобщения:

1.        спектр периодической последовательности видеосигналов имеет дискретный характер;

2.        огибающая спектра (штриховая линия) описывается функцией , где ;

3.        амплитуды гармоник с номерами, кратными скважности импульсов q, равны нулю;

4.        число гармоник (спектральных линий) между началом отсчёта и первым нулём огибающей равно q-1;

5.        постоянная составляющая и амплитуды всех гармоник пропорциональны амплитуде импульсов E и с ростом скважности импульсов q они уменьшаются;

6.        с увеличением скважности q, то есть с уменьшением длительности импульсов , число гармоник увеличивается (рис.2.8б) и спектр становится шире.

Последовательность прямоугольных радиосигналов. Последовательность прямоугольных радиосигналов (рис. 2.9) можно записать как высокочастотное косинусоидальное колебание , для которого последовательность видеоимпульсов (рис. 2.7) является огибающей:

Тогда на основании выражения (2.29) получаем

         (2.30)

Из (2.30) видно, что спектр последовательности радиосигналов (рис.2.9), полученных путём модуляции высокочастотного колебания прямоугольными импульсами (рис.2.7) совпадает со спектром прямоугольных импульсов (рис.2.8), но смещён в область высоких частот .