3.4. Расчет электрических цепей символическим методом.

3.4. Расчет электрических цепей символическим методом.

При записи входного гармонического воздействия в виде функции времени в ходе расчетов необходимо выполнять громоздкие тригонометрические и геометрические операции над интегрально-дифференциальными уравнениями. Символический метод, основанный на комплексной форме записи гармонических воздействий, позволяет расчеты цепей свести к составлению и решению алгебраических уравнений, что существенно упрощает расчеты.

Возможность использования символического метода объясняется тем, что линейные электрические цепи не изменяют частоту гармонического воздействия. Это означает, что в таких цепях неизвестными параметрами токов и напряжений являются только амплитуды и фазы, которые однозначно определяются их комплексными амплитудами.

Закон Ома в комплексной форме. Закон Ома устанавливает связь между токами, напряжениями и сопротивлениями в элементах электрической цепи. Для резистивного, индуктивного и емкостного элементов имели

 

для R:         i=(Um/R)sin(ωt+φi) ;  φi= φu ;

для L:         i=(Um/ωL)sin(ωt+φi) ;  φi= φu-π/2 ;  X L= jωL;                    (3.31)

для С:         i=UmωCsin(ωt+φi) ;  φi= φu+π/2 ;  X C=1/( jωC).

Связь между комплексными амплитудами токов Im и напряжений Um для элементов R,L и С можно определить согласно выражений (3.31), в которых заменим мгновенные значения токов i и амплитудные значения напряжений Um их комплексными амплитудамиIm и Um и будем иметь

 

дляR:          I=Um/R; 

дляL:          I=Um/jωL;  Um= jωLIm=j X L Im;                                            (3.32)

дляС:          I=Um jωC;  Um=- j /(ωC)Im =-j X C Im.

Уравнения (3.32) справедливы и для комплексных действующих значений токов и напряжений:

 

 

дляR:        I=U/R=UG;

для L:       I=U/jXL=-jBL U ;                                                                      (3.33)

для С:       I=jBC U= U/(-jXC),                                        

где

Законы Кирхгофа в комплексной форме. Первый и второй законы Кирхгофа в комплексной форме получаются путем замены мгновенных значений токов  ik и  напряжений uk в выражениях (1.22) и  (1.23)  их комплексными амплитудами Imk и Umk. Выполнив замену получим:

                                                                                                         (3.34)

                                                                                                      (3.35)

Расчет цепи с последовательным соединением элементов символическим методом. Для цепи рис.3.4.а на основании выражения (3.35) можно составить следующее уравнение Um= UmR+UmL+Umс или с учетом (3.32)

Um=[R+j(ωL-l/ωC)]Im=(R+jX)Im=Z Im                                            (3.36)

где Z – комплексное сопротивление цепи, которое равно

Z= R+jX=Z jφ =Z(cosφ+jsinφ)                                                        (3.37)

В   выражении  (3.37)  Z – модуль,  φ – аргумент  (фаза)  комплексного сопротивления, которые определяются формулами

 

;

.                                                                       (3.38)

Расчет цепи с параллельным соединением элементов символическим методом. Для цепи (рис.3.5,а) имели выражение (3.27), которое с учетом (3.28) в комплексной форме примет вид

Im=[G-j(BL-BС)]Um =(G-jB)Um =Y Um,                                             (3.39)

где величина Y есть комплексная проводимость цепи, которая определяется выражением

Y= G-jB=Ye-jφ=Y(cosφ-jsinφ)                                                           (3.40)

В выражении (3.40) полная проводимость цепи Y и фазовый сдвиг ф определяются формулами

Y=|Y|, φ=аrgY=аrсtg(В/G)

Расчет цепей в комплексной форме методом наложения (суперпозиции). Рассмотрим цепь, изображенную на рис.3.6,а, в которой необходимо определить ток i3.

Рис. 3.6. Сложная электрическая цепь а) и ее эквивалентная схема б).

Заменим элементы ветвей исходной схемы их комплексными сопротивлениями Z1=R1+jωL1; Z2=R2-j(1/ωC2); Z3=R3+j(ωL3-(1/ωС3), а источники напряжения и токи их комплексными значениями и получим эквивалентную схему рис.3.6,б. Сравнение схем, изображенных на рис.3.6.б и рис.1.18,б показывает их одинаковую топологию, что позволяет определить ток i3 по методам, изложенным в § 1.4.4.

Расчет цепей в комплексной форме методом контурных токов. Согласно §1.4.5 для схемы рис.3.6,б можно составить следующую систему уравнений

 

;

,                                                              

где Z11=Z1+Z3; Z22=Z2+Z3; Z12=Z21=Z3; Uk1=UГ1; Uk2=UГ2.

Используя выражения (1.41) и (1.42) получаем

Ik1=Uk1(Δ11/ ΔZ)+ Uk2(Δ21/ ΔZ);

Ik2=Uk1(Δ12/ ΔZ)+ Uk2(Δ22/ ΔZ),

где ΔZ= – определитель системы.

Δ 11,   Δ12,   Δ21,   Δ22 – алгебраические   дополнения   определителя ΔZ. 3ная контурные токи Ik1 и Ik2, определяем токи в ветвях схемы I1=Ik1;  I2=Ik2;  I3=Ikl+Ik2.

Расчет цепей в комплексной форме методом эквивалентного генератора. Определим ток i3 используя методику §1.4.6. Для этого разомкнем ветвь с Z3 (рис.3.6,б) и определим напряжение холостого хода Uxx=UГ2-I2Z2 и эквивалентное сопротивление цепи ZЭ=Z1Z2/(Z1+Z2). Зная напряжение холостого хода и эквивалентное сопротивление цепи находим ток в цепи по формуле: I3=Uxx/(ZЭ+Z3). Примем, что угловая частота источников гармонических колебаний UГ1 и UГ2 равна ω, тогда мгновенное значение тока i3=Im3sin(ωt+φ3), Im3=|I3|√2, φ3=arg I3, I3=I3e jφ3.