3.5. Резонансные цепи

3.5. Резонансные цепи

Последовательный колебательный контур. Последовательный колебательный контур образуется при последовательном соединении катушки индуктивности и конденсатора. Эквивалентная схема рис.3.7 для анализа цепи включает и омическое сопротивление R, при помощи которого учитываются потери в реальной индуктивности и емкости.

Рис. 3.7 Эквивалентная схема последовательного контура.

Пусть на входе контура действует гармоническое колебание U. Из рис.3.7 видно, что комплексное сопротивление равно:

Z=R+j(ωL-1/ωС)                                                                               (3.41)

зная приложенное напряжение U и сопротивление контура определяем ток в контуре:

I=(U/Z)=U/[R+j(ωL-1/ωС)]                                                              (3.42)

Сдвиг фаз между током и напряжением равен:

;                                                                 (3.43)

Падения напряжений на резисторе, индуктивности и емкости определяются выражениями:

                                             (3.44)

Из полученных соотношений видно, что Z, UL и UC зависят от частоты.

Когда частота входного сигнала равна собственной частоте колебательного контура, то хL=хC и в контуре возникает резонанс.

Рассмотрим процессы в цепи при наступлении резонанса исходя из условия, что xL=ωL=xC=l/(ωC).

Откуда собственная частота контура:

Определим Z, UL и UC при резонансе. Учитывая, что при резонансе xL=xC выражения (3.41-3.44) примут вид:

                                                                                                   (3.45)

Важной    характеристикой    колебательного    контура    является    его добротность (качество), которое по определению равно: Q=UL(p) /U=UC(p) /U.

Подставляя в эту формулу значения напряжений из (3.45) будем иметь:

где                                                       (3.46)

Q показывает во сколько раз сопротивление контура на резонансной частоте больше сопротивления омических потерь. В среднем Q=10.. 100 раз.

ρ – волновое сопротивление, которое равно индуктивному и емкостному сопротивлениям на резонансной частоте.

Учитывая (3.46) соотношения (3.45) примут вид:

                                                     (3.47)

Из (3.47) видно, что при возникновении в контуре резонанса напряжение на реактивных элементах L и С в Q раз (10.. 100 раз) больше приложенного к контуру напряжения. Поэтому говорят, что в последовательном колебательном контуре имеет месторезонанс напряжений.

Частотные характеристики и полоса пропускания последовательного колебательного контура. Зависимости сопротивлений и сдвига фазы между током и напряжением от частоты называются частотными и фазовыми характеристиками контура и определяются формулами:

                                                                    (3.48)

Графики зависимости xL(ω), хC(ω), х(ω) и Z(ω) изображены на рис.3.8.а, а зависимости φ(ω) –на рис.З.8.б.

Рис. 3.8. Частотные (а) и фазовая (б) характеристики последовательного колебательного контура.

Из выражений (3.48) и графиков рис.3.8 видно, что при ω<ω0 цепь носит емкостной характер (х<0, φ<0) и ток в контуре опережает по фазе приложенное к нему напряжение. При ω>ω0 цепь имеет индуктивный характер (х>0,φ>0) и ток отстает по фазе от приложенным напряжения. При ω=ω0 в контуре наступает резонанс напряжений (х=0, φ=0) и ток совпадает по фазе с приложенным напряжением. На резонансной частоте контур имеет минимальное значение сопротивления, которое равно сопротивлению потерь в катушке индуктивности и в конденсаторе, т.е. Z=R.

Зависимости тока и напряжений от частоты называют амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ) или резонансными характеристиками контура. Эти зависимости определяются следующими выражениями:

                   (3.49)

Зависимости, определяемые выражениями (3.49) изображены на рис 3.9.

Рис. 3.9. Амплитудно-частотные характеристики последовательного колебательного контура.

Из (3.49) и графиков рис 3.9 видно, что ток в контуре при резонансе (ω=ω0) достигает максимального значения и равен I0=U/R. Значения напряжений на индуктивности UL(ω) и емкости UC(ω) на резонансной частоте (ω=ω0) равны:

UL(ω0)=UL0=UC(ω0)= UC0=I0ρ=UQ                                                 (3.50)

Максимальные значения Ui(co) и Uc(co) можно определить из условия:

;                                                            (3.51)

Решив уравнения (3.51) с учетом (3.49), получим, что UL(ω) и UC(ω) принимают максимальные значения на частотах:

                                                                      (3.52)                                       

Максимальные значения UL(ω) и UC(ω) на частотах ωL и ωC определяются выражениями:

                                               (3.53)

Таким образом на резонансной частоте (ω=ω0) принимает максимальное значение только ток в контуре, а напряжение UL, и UC становятся максимальными на частотах ωL и ωC, которые не совпадают с резонансной частотой ω0 (см.рис.3.9,а). Однако, как видно из (3.52), с увеличением добротности контура Q , частоты ωL и ωC сближаются с резонансной частотой ω0, поэтому на практике рассматривают одну резонансную характеристику, которая показана на рис.3.9,б.

В результате изменения частоты воздействующего на контур сигнала или изменения параметров контура режим резонанса может быть нарушен. Степень отклонения режима колебательного контура от резонанса оценивают абсолютной (Δω,Δƒ), относительной (δ) и обобщенной (ξ) расстройками, которые определяются выражениями:   

  или 

                                                                                            (3.54)

АЧХ (3.49) и ФЧХ (3.48) последовательного колебательного контура можно записать через обобщенную расстройку ξ в следующей форме:

                                                                                                      (3.55)                                           

Из рис.3.9,б видно, что контур пропускает сигналы без существенного ослабления в некотором диапазоне частот от ƒ1 до ƒ2. Диапазон частот вблизи резонанса, на границе которого ток уменьшается в относительно I0 называют полосой пропускания контура. Граничные частоты полосы пропускания ƒ1 и ƒ2 определим из уравнения:

Учитывая значения ξ (3.54) получим ξ1,2=Q(ω/ω0 – ω0/ω) = ± 1, откуда

                                          (3.56)

Учитывая   (3.56)   ширина   полосы   пропускания   последовательного колебательного контура будет равна:

                                                                     (3.57)

Из (3.57) следует, что ширина полосы пропускания контура зависит от его качества Q. И чем больше Q , тем уже полоса пропускания.

Параллельный колебательный контур. Параллельный колебательный контур образуется при параллельном соединении катушки индуктивности и конденсатора с генератором тока (рис.3.10). Действительные сопротивления R1 и R2 введены в схему для отображения соответственно потерь энергии в катушке индуктивности и конденсаторе.

Рис. 3.10. Эквивалентная схема параллельного колебательного контура.

Определим сопротивление контура и токи в ветвях до резонанса и в момент резонанса. Из схемы видно, что:

                                                                            (3.58)

На частотах близких к резонансным всегда выполняется условие R1<<ω0L и R2<<1/(ω0C) поэтому в выражении для Z (3.58) в числителе R1 и R2 можно пренебречь:

     (3.59)

Из   полученных   выражений   видно,   что   на   частотах   меньших резонансной частоты (ω<ω0) xL<xC, поэтому IL>IC и контур носит индуктивный характер. На частотах больших резонансной частоты (ω>ω0) xL>xC, поэтому IC>IL и контур носит емкостной характер.

При частоте входного сигнала равного собственной частоте контура |xL|=|xC| и в контуре наступает резонанс на частоте равной  .

Из выражения (3.59) видно, что при |xL|=|xC| с учетом, что Q= ρ/R сопротивление контура равно:

Zρ=ρ2/R=Qρ                                                                                       (3.60)

При резонансе ток в контуре определяется выражением Ik=U/ρ. Учитывая, что U=Iг ZP и учитывая выражение (3.60) будем иметь:

Ik=Iг ZP/ρ=Iг Q                                                                                  (3.61)

Из (3.61) видно, что при ω=ω0 ток в контуре превышает ток входного генератора в Q раз. Такое явление называют резонансом тока.

Частотные характеристики параллельного контура без потерь определяются зависимостью параметров его элементов от частоты и имеют вид:

;

;                                       (3.62)

Графики частотных зависимостей (3.62) изображены на рис.3.11

Рис. 3.11. Частотные характеристики параллельного колебательного контура.

Из рисунка видно, что при ω<ω0 входное сопротивление контура носит индуктивный характер, а при ω>ω0 – емкостной характер. На резонансной частоте ω=ω0 вследствие отсутствия потерь входное реактивное сопротивление контура претерпевает разрыв (|Х|= ∞).

Согласно Закону Ома токи в ветвях контура определяются формулами:

                                                          (3.63)

Анализ (3.63) показывает, что с увеличением частоты ω ток I1(ω) уменьшается, а I2 растет. При ω=∞ токи становятся равными I1(∞)=0; I2(∞)=U/R.

Если контур подключен к источнику с напряжением Uг и внутренним сопротивлением Rг, то комплексное напряжение на контуре определяется уравнением:

.                                                         (3.64)

где Z определятся (3.59). На резонансной частоте ξ=0, поэтому (3.64) с учетом (3.59) примет вид:

                                                           (3.65)

Определим частотную зависимость Uk/Uk(p) . Учитывая (3.64-3.65) и (3.59) будем иметь:

                         (3.66)

Введем понятие эквивалентной добротности контура:

QЭ=Q/(1+RОЭ/Rг)                                                                             (3.67)

Учитывая (3.67) и значение £ (3.54) выражение (3.66) можно преобразовать к виду:

                                  (3.68)

На основании частотной зависимости (3.68) определяем АЧХ и ФЧХ параллельного колебательного контура:

                                                  (3.69)

Из (3.67) и (3.69) видно, что АЧХ контура зависит от внутреннего сопротивления генератора Rг. Вид АЧХ (3.69) для двух значений Rг приведена на рис.3.12:

Рис. 3.12. АЧХ параллельного колебательного контура.

Ширину полосы пропускания контура определим как диапазон частот, на границе которого напряжение на контуре уменьшается в раз относительно Uk(p).

Из этого уравнения получаем граничные частоты полосы пропускания:

Отсюда ширина полосы пропускания параллельного колебательного контура равна:

                           (3.70)

Анализ выражения (3.70) показывает, что Δƒ зависит от величины внутреннего сопротивления генератора Rг и что только при Rг→ ∞ можно получить узкую полосу(см.рис.3.12). Отсюда следует, что для улучшения избирательных свойств параллельного контура (для уменьшения Δƒ) его необходимо возбуждать источником тока.