3.6. Индуктивно связанные цепи
Коэффициент связи. Простейшая индуктивно связанная цепь представляет собой две рядом расположенные катушки индуктивности L1 и L2 (рис.3.13).
Связь между катушками L1 и L2 возникает вследствие явления взаимной индукции. Степень связи между L1 и L2 принято характеризовать коэффициентом связи k.
Найдем выражение для коэффициента связи. Пусть под действием напряжения u в катушке L1 протекает ток i1. Этот ток создает магнитный поток Ф11. Если часть этого потока, которую обозначим Ф12, пересекает витки катушки L2, то в ней наводится ЭДС взаимной индукции, которая в соответствии с законом Максвелла-Фарадея определяется выражением
, (3.71)
где m12 – коэффициент взаимной индуктивности катушек L1 и L2 в генри [Гн]. Знак (-) определяется согласно правилу Ленца.
ЭДС (3.71) создает на зажимах катушки L2 напряжение
. (3.72)
Если напряжение u приложено не к катушке L1, а к катушке L2, то под действием тока i2 в катушке L1 также будет наводиться ЭДС взаимной индукции:
. (3.73)
Для линейных цепей m12=m21
Пусть катушка L2 нагружена на резистор R, а к катушке L1 приложено напряжение u (рис.3.13,б). В этом случае под действием um2 в L2 будет протекать ток i2, который создает в катушке L1 ЭДС взаимоиндукции em1 (3.73). При этом каждая из катушек L1 и L2 будет пронизываться двумя магнитными потоками: катушка L1 – потоками Ф11 и Ф21, а катушка L2 – потоками Ф22 и Ф12. Таким образом устанавливается двухсторонняя индуктивная связь между катушками L1 и L2. Это приводит к тому что в катушках L1 и L2 будут индуцироваться ЭДС:
; (3.74)
. (3.75)
В зависимости от направления магнитных потоков само- и взаимоиндукции различают согласное и встречное включение. Если катушки включаются таким образом, что потоки само- и взаимоиндукции складываются, то такое включение называется согласным, а если вычитаются– встречным.
Степень связи между катушками L1 и L2 характеризуют коэффициентом связи:
, (3.76)
где коэффициенты k12 и k21 характеризуют одностороннюю связь между катушками L1 и L2 и определяются выражениями
k12=Ф12/Ф11 и k21=Ф21/Ф22 . (3.77)
Учитывая, что магнитные потоки связаны с количеством витков w соотношениями
Ф11=L1i1/w1 ; Ф12=m12i1/w2 ;
Ф21=m21i2/w1 ; Ф22=L2i2/w2 (3.78)
и подставляя (3.78) в (3.77) и затем в (3.76) будем иметь
, (3.79)
где m=m12=m21
Из (3.79) видно, что коэффициент связи между двумя катушками зависит от величины индуктивности L1 и L2 этих катушек. Значение k изменяется от 0(отсутствует связь) до 1(сильная связь). Связь между катушками существенно зависит от потоков рассеяния Ф1S и Ф2S (рис.3.13), поэтому степень индуктивной связи можно характеризовать коэффициентом рассеяния
σ 2=1-k2 . (3.80)
Примерами индуктивно связанных цепей являются индуктивно связанные колебательные контуры и трансформаторы.
Индуктивно связанные контуры. Схема индуктивно связанных контуров приведена на рис.3.14.
Двойной стрелкой со значком m обозначена индуктивная связь между двумя контурами. Степень связи определяется коэффициентом связи (3.79).
Найдем комплексный коэффициент передачи системы связанных контуров, который по определению равен
K=Uвых/Uвх (3.81)
Найдем Uвых. Если на входе I контура действует гармонический сигнал Uвх, а влияние II контура не учитывать, то будет справедливо уравнение
(3.82)
Для двух связанных контуров имеем
(3.83)
Обозначим 
и 
, тогда (3.83) имеет вид
(3.84)
Исключив в (3.84) переменную I1 будем иметь
,
откуда
(3.85)
Зная I2 определяем выходное напряжение
(3.86)
Подставляя (3.86) в (3.81) с учетом (3.85) будем иметь
(3.87)
Предположим, что оба контура имеют одинаковые параметры R,L и C и поэтому их резонансные частоты равны ω10=ω20=ω0. Свойства связанных контуров будем изучать в узкой полосе частот Δω, тогда ωL≈ω0L=ρ.
Используя эти допущения и учитывая (3.79) выражение (3.87) примет вид
(3.88)
Колебательные контуры характеризуются качеством Q, коэффициентом затухания d, относительной δ и обобщенной ξ расстройками. Эти параметры определяются следующими выражениями (см.§3.5):
;
. (3.89)
Учитывая (3.89) выражение (3.88) можно преобразовать к следующему виду:
(3.90)
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) связанных контуров определяется модулем (3.90)
(3.91)
Из выражения dK/dδ=0 получаем уравнения экстремальных точек АЧХ: δ=0 и δ2+d2-k2=0, откуда
(3.92)
Из определения δ (3.89) следует, что при малых расстройках текущая частота ω и резонансная частота ω0 связаны соотношением
(3.93)
Подставляя (3.92) в (3.93) находим частоты, которые соответствуют экстремальным точкам АЧХ связанных контуров:
;
Графики АЧХ связанных контуров для k=d, k=2d и k=3d приведены на рис.3.14,б).
Из графиков видно, что резонансная характеристика (АЧХ) связанных контуров зависит от соотношения коэффициентов связи k и затухания d. При k<d она имеет один максимум на частотеω0. При k>d она имеет два максимума на частотах ω2 и ω3 и минимум на частоте ω0.
Трансформаторы. Это устройство, которое предназначено для преобразования величин переменных токов и напряжений. Схема простейшего трансформатора приведена на рис.3.15. Потери в первичной L1 и вторичной L2 обмотках на схеме учтены включением резисторов R1 и R2.
Рис. 3.15 Схема воздушного трансформатора.
Катушка к которой подключается источник называется первичной, а к которой подключают нагрузку – вторичной. Катушки L1 и L2 располагаются на общем сердечнике, который может быть выполнен из ферромагнитного или неферромагнитного материала.
Пусть трансформатор нагружен на комплексное сопротивление ZН=RН+jXН. На основании второго закона Кирхгофа для I и II контуров запишем следующие уравнения
(3.94) где
(3.95)
Из (3.94) находим токи
;
(3.96)
Используя (3.94 – 3.96) и учитывая, что U2=I2ZН находим отношения комплексных токов и напряжений в трансформаторе
I1/I2=(Z2+ZH)/Z12 ; U1/U2=[(Z2+ZH)Z11– Z12]/(ZHZ12), (3.97)
Если трансформатор не имеет потерь (R1=R2=0), то (3.97) принимает вид
I1/I2=ZH/Z12+1/ kтр ; U1/U2= kтр , (3.98)
где kтр=L1/M – коэффициент трансформации.
Коэффициент трансформации идеального транзистора (потери равны нулю, индуктивности L1 и L2 бесконечно велики) определяется выражением
kтр=L1/L2=w1/w2 , (3.99)
где w1 и w2 – число витков первичной и вторичной катушек.
Для увеличения магнитного потока и связи между катушками, что приводит к росту мощности, отдаваемой во вторичную цепь трансформатора, применяют ферромагнитный сердечник. Свойства трансформаторов с ферромагнитными сердечниками близки к свойствам идеального трансформатора.