4.2. Переходные процессы в RL-цепях
Рассмотрим переходные процессы в RL-цепи на примере схемы, изображенной на рис. 4.1,а. Из рисунка видно, что переходные процессы в цепи будут возникать в моменты установки ключа К в положения 1 или 2.
При установке ключа в положение 1 происходит подключение к RL-цепи источника входного воздействия u(t) и начинается переходной процесс при нулевых начальных условиях. При установке ключа в положение 2 происходит отключение входного воздействия от цепи и замыкание индуктивностиL на резистор R и начинается переходной процесс при ненулевых начальных условиях.
Переходной процесс в RL-цепи при нулевых начальных условиях. Установим ключ К в положение 1 (рис. 4.1,а). При этом в цепи возникает ток i, который создает падения напряжений на R и L.
а) б) в)
Рис. 4.1. RL-цепь (а) и переходные процессы в ней при подключении входного воздействия (б) и при отключеии входного воздействия(в).
Согласно второго закона Кирхгофа приложенное напряжение u(t) уравновешивается падениями напряжений на R и L, т.е.
u(t)=uR + uL = iR + Ldi/dt. (4.1)
Решение уравнения (4.1) можно записать в виде
i = iсв + iпр, (4.2)
где iсв – свободная составляющая тока, iпр – принужденная составляющая тока, обусловленная действием u(t).
Для определения свободной составляющей тока уравнение (4.1) необходимо приравнять к нулю, тогда будем иметь.
iсвR + Ldiсв/dt = 0. (4.3)
Выражение (4.3) является однородным дифференциальным уравнением, общее решение которого имеет вид
iсв = А℮pt, (4.4)
где А – постоянная интегрирования; р – корень характеристического уравнения, составленного из (4.3). R + pL = 0, откуда p = -R/L = -1/τ , тогда свободная составляющая тока (4.4) будет равна
iсв = А℮-t/τ, (4.5)
где τ = L/R [с] –постоянная времени RL-цепи.
Принужденную составляющую iпр найдем полагая, что u(t) = U = const, тогда в установившемся режиме iпр = U/R. Учитывая последнее выражение и (4.5) перепишем (4.2) в форме
i = А℮-t/τ + U/R. (4.6)
До подключения к цепи входного напряжения ток в цепи был равен нулю, тогда на основании первого закона коммутации (4.6) будет иметь вид
0 = A + U/R.
Отсюда находим постоянную интегрирования A = -U/R. Подставляя значение постоянной интегрирования в (4.6) находим закон изменения тока в RL-цепи при подключении к ней U = const
i = U/R(1 – ℮-t/τ). (4.7)
Учитывая (4.7) находим закон изменения напряжения на индуктивности
uL = Ldi/dt = U ℮-t/τ. (4.8)
Графики зависимости i(t) и uL(t) изображены на рис. 4.1,б. Из рисунков и выражений (4.7) и (4.8) следует, что в момент подключения к индуктивности источника постоянного напряжения ток в цепи равен нулю, а напряжение на индуктивности достигает максимального значенияuL = U, т.е. индуктивность эквивалентна разрыву цепи.
С увеличением времени ток в цепи увеличивается, а напряжение uL уменьшается по экспоненциальному закону. При t = ∞ ток в цепи достигает максимального значения, а uL = 0, т.е. индуктивность эквивалентна короткозамкнутому участку цепи.
Из выражений (4.7) и (4.8) видно, что длительность переходного процесса зависит от постоянной времени цепи τ. Чем больше постоянная времени цепи τ, тем медленнее затухает переходной процесс. При t = τ напряжение UL уменьшается в е раз. На практике принято считать, что переходной процесс заканчивается через время t = 3τ, т.к. при этом ток (4.7) достигает 95% от своего установившегося значения.
Рассмотрим случай, когда на вход RL-цепи (рис. 4.1,а) подключается гармоническое колебание. Для этого случая принужденная составляющая тока будет
, (4.9)
где 
; 
.
Свободная составляющая тока определятся выражением (4.5).
Постоянную интегрирования А определим исходя из начальных условий, т.е. при t = 0, i = 0, тогда на основании (4.2) запишем
0 = А + Im sin(φu – φ).
Откуда А = -Im sin(φu – φ). Учитывая значение А и выражение (4.9) закон изменения тока в RL-цепи будет иметь вид
. (4.10)
Напряжение на индуктивности определяется уравнением 
, т.е.
, (4.11)
где UmL = ImωL.
Из (4.10) видно, что переходной процесс в RL-цепи при подключении ее к гармоническому колебанию, будет протекать по-разному в зависимости от момента включения входного воздействия. Если цепь будет подключена к источнику в момент, когдаφu = φ ± π/2, то в момент включения ток imax = 2Im, т.е. появляется бросок тока. При включении цепи в момент, когда φu = φ в цепи сразу наступает установившийся режим.
Переходной процесс в RL-цепи при ненулевых начальных условиях. Пусть к моменту коммутации ключ К на рис. 4.1,а находился в положении 1 и к RL-цепи было подключено напряжение u(t) = U = const. Следовательно в цепи была запасена энергия магнитного поля WL = LI2 = L(U/R)2. Установим ключ К в положение 2. При этом от цепи будет отключено входное воздействие и индуктивность L будет замкнута на резисторе R. В цепи возникает переходной процесс, описываемый уравнением
iR + Ldi/dt = 0. (4.12)
Принужденная составляющая тока iпр= 0. Решая уравнение (4.12) с учетом (4.3) – (4.5) находим
. (4.13)
В момент коммутации при t = 0 ток в цепи был i = U/R, поэтому из (4.13) имеем A = U/R. Подставляя полученное значение А в (4.13) будем иметь следующее выражение, описывающее изменение тока в RL-цепи после отключения входного воздействия
. (4.14)
Напряжение на индуктивности в переходном режиме изменяется по закону
. (4.15)
Графики изменения тока и напряжения изображены на рис. 4.1,в.
Из рисунков и выражений (4.14) и (4.15) видно, что при отключении от индуктивности входного воздействия и замыкании ее на резистор ток и напряжение стремятся к нулю. Это означает, что вся запасенная в индуктивности энергия с течением времени расходуется на тепловые потери в резисторе. Длительность переходного процесса зависит от постоянной времени цепи и переходной процесс заканчивается через времяt ≈ 3τ.