4.3. Переходные процессы в RC-цепях
Переходные процессы в цепи рис. 4.2 будут возникать при установке ключа К в положение 1 (нулевые начальные условия) или 2 (ненулевые начальные условия).
Рис. 4.2. RC-цепь а) и переходные процессы в ней б) и в).
Переходной процесс в RC-цепи при нулевых начальных условиях. Рассмотрим случай, когда на входе цепи действует постоянное напряжение, т.е. u(t) = U. В момент t = 0 замкнем ключ К в положение 1 и подключим постоянное напряжение к цепи. Под действием напряжения U в цепи будет протекать ток i, который создает на резисторе R падение напряжения и заряжает емкость C. На основании второго закона Кирхгофа можно записать
. (4.16)
Решение этого уравнения будем искать в форме суммы общего и частного решений, которые определяют свободную и принужденную составляющие:
. (4.17)
Для определения свободной составляющей необходимо найти решение однородного дифференциального уравнения, которое получается из (4.16) приU = 0 и имеет вид:
. (4.18)
Общее решение уравнения (4.18) определяется выражением
, (4.19)
где А – постоянная интегрирования; p – корень характеристического уравнения, полученного из (4.18) RCp + 1 = 0, откуда p = -1/RC = -1/τ, тогда (4.19) примет вид
, (4.20)
где τ = RC – постоянная времени цепи.
В установившемся режиме (после заряда конденсатора) напряжение на конденсаторе будет равно приложенному ко входу цепи напряжению, т.е. принужденная составляющая определяется уравнением:
. (4.21)
Подставляя (4.20) и (4.21) в (4.17)будем иметь
. (4.22)
Учитывая, что в момент коммутации t = 0 и uC = 0 из (4.22) находим постоянную интегрирования А = -U, тогда (4.20)примет вид:
. (4.23)
Подставляя (4.21) и (4.23) в (4.17) получаем выражение, которое определяет как изменяется напряжение на выходе RC-цепи при подключении к ее входу источника постоянного напряжения
. (4.24)
Учитывая (4.24)находим выражение, определяющее изменение тока в цепи
. (4.25)
Графики изменения напряжения (4.24) и тока (4.25), поясняющие переходной процесс в RC-цепи при заряде емкости изображены на рис. 4.2,б. Из графиков видно, что в момент подключения к RC-цепи источника постоянного напряжения ток в цепи достигает максимального значения, а напряжение на конденсаторе равно нулю , т.е. емкость ведет себя как короткозамкнутый участок цепи. С увеличением времени ток уменьшается а напряжение на емкости увеличивается по экспоненциальному закону. Приt = 0 ток становится равным нулю, а uC = U, т.е. емкость эквивалентна разрыву цепи для постоянного тока.
Рассмотрим переходной процесс в RC-цепи при нулевых начальных условиях, когда к входу цепи подключается гармоническое воздействие. В этом случае принужденная составляющая будет иметь вид:
, (4.26)
где
(4.27)
Учитывая (4.20) и (4.26) находим
. (4.28)
Постоянную интегрирования А определим исходя из начальных условий, что при t = 0 uC = 0, тогда
.
Подставляя А в (4.28) находим выражение, определяющее изменение UC при подключении к RC-цепи гармонического воздействия
. (4.29)
Ток в цепи определяется выражением
Из выражения (4.29) видно, что при подключении к RC-цепи с большой постоянной времени τ гармонического воздействия в момент, когда φu = π – φ в цепи могут возникнуть перенапряжения достигающие величины UCmax ≈ 2UmC. Если к цепи подключается гармоническое воздействие, когда φu = π/2 – φ, то в цепи нет переходного процесса и сразу наступает установившийся режим.
Переходной процесс в RC-цепи при ненулевых начальных условиях. Переведем ключ К в цепи рис. 4.2 в положение 2. При этом произойдет отключение цепи от источника входного воздействия и емкость будет подключена к резисторуR.
К моменту коммутации емкость была заряжена до напряжения U и в ней была запасена энергия WC = CU2/2. После коммутации емкость начинает разряжаться и энергия расходуется на резисторе R. Переходной процесс, т.е. процесс разряда емкости, определяется уравнением
. (4.30)
Решением уравнения (4.30) является выражение (4.20)
. (4.31)
Постоянную интегрирования А находим из начальных условий, т.е. при t = 0 uC = U, тогда из (4.31) определяем А = U. Подставляя значение А = U в (4.31) находим выражение, определяющее изменение напряжения в RC-цепи при разряде емкости через резистор
. (4.32)
Ток в цепи изменяется в соответствии с выражением
. (4.33)
Знак (-) в уравнении (4.33) означает, что ток разряда имеет обратное направление току заряда емкости.
Графики изменения uC и i приведены на рис. 4.2,в.
Из графиков рис. 4.2,в и выражений (4.32) и (4.33) видно, что в начале разряда емкости (t = 0) ток в цепи и напряжение на емкости имеют максимальные значения uC = U, i = -U/R. С увеличением времени разряда напряжение на емкости и ток в цепи стремятся к нулю по экспоненциальному закону, т.е. в цепи имеет место переходной процесс. Длительность переходного процесса зависит от постоянной времени цепиτ, который заканчивается через время t ≈ 3τ. Вся энергия, запасенная в конденсаторе, за время разряда преобразуется в резисторе R в тепло.