6.2. Фильтры типа k

6.2. Фильтры типа k

Собственное (характеристическое) сопротивление k-фильтра нижних частот. Рассмотрим фильтры, выполненные в виде T- и П–образных симметричных четырехполюсников (рис. 6.12,а и б).

Рис. 6.12. Схемы Т- и П–образных фильтров.

Сопротивления продольных и поперечных плеч в обеих схемах соответственно равны:

;        .                                    (6.1)

Найдем произведение этих сопротивлений:

.                                    (6.2)

Видим, что произведение сопротивлений плеч Т- и П-образных фильтров, состоящих из реактивных элементов, не зависит от частоты и равно постоянному числуk. Такие фильтры называются k-фильтрами.

Для определения характеристических сопротивлений Т- и П-образных фильтров (Zст и Zсп) воспользуемся выражением, которое устанавливает связь между характеристическим сопротивлением симметричного четырехполюсника(Zс) и сопротивлениями холостого хода (Zx) и короткого замыкания (Zк):

.                                                            (6.3)

На основании рис. 6.12,а для Т- звена находим:

;

.                    (6.4)

Подставив выражение (6.4) в выражение (6.3), получим формулу для определения собственного сопротивления Т-звена в следующем виде:

На основании рис. 6.12,б для П–звена находим:

Подставив выражение (6.6) в выражение (6.3) получим формулу для определения собственного сопротивления П-звена в следующем виде:

.                                                    (6.7)

Определим характеристические сопротивления Т- и П-образных фильтров при.

Подставляя значения Z1 и Z2 в формулу (6.5), выполнив преобразования, получим:.

где ρ- номинальное характеристическое сопротивление;

ωгр- граничная частота;

Ω- нормированная частота( при ω = ωгр, Ω = 1).

С учетом введенных обозначений для Т-фильтра будем иметь:

.                                    (6.9)

Для П-фильтра, подставив значения сопротивлений Z1 и Z2 в выражение (6.7) и выполнив преобразования получим:

.                                  (6.10)

Частотные зависимости характеристических сопротивлений для Т- и П-образных фильтров приведены на рис. 6.13.

Рис.6.13. Частотные зависимости характеристического сопротивления Т- и П-звеньев.

Собственная (характеристическая) постоянная передачи k-фильтра нихних частот. Определим собственную постоянную передачи Т- и П-образных фильтров (рис.6.12). Для этого воспользуемся соотношением:

,                                          (6.11)

где                               .                                          (6.12)

Подставляя в выражение (6.12) соотношения (6.4) и (6.6) определим A11 и A22 для -Т и П-образного звеньев:

.                                                  (6.13)

.                                                  (6.14)

Сравнивая выражения (6.13) и (6.14) видим, что А11т = А11п, следовательно постоянная передачи (6.11) для Т- и П-образного фильтров будет одинакова. Подставляя значение А11 в выражение (6.11) находим:

.  (6.15)

Здесь использовано известное соотношение:

.

Полоса пропускания (прозрачности) k-фильтра нижних частот. Условие прозрачности фильтра получим в предположении того, что в полосе пропускания ослабление αС = 0. Тогда выражение (6.15) можно записать в следующем виде:

.                          (6.16)

Известно, что сosx изменяется в пределах , тогда выражение (6.16) примет вид:

.                                          (6.17)

После преобразования выражения (6.17) получим условие прозрачности фильтра:

.                                                  (6.18)

Учитывая выражение (6.1) условие прозрачности (6.18) примет вид:

, или ,

откуда или ,                  (6.19)

где – граничная частота фильтра.

Из выражения (6.19) видно, что полоса пропускания фильтра лежит в пределах от 0 до ωгр, т.е. фильтр является фильтром нижних частот.

Условие (6.18) выполняется, если сопротивления фильтра Z1 и Z2 чисто реактивны и имеют противоположные знаки, т.е. одно плечо фильтра состоит из емкостного элемента и имеет сопротивление XC, а второе – из индуктивного элемента с сопротивлением XL.

Найдем выражения для расчета характеристического затухания αС и фазы βС в полосах пропускания и непропускания (задержания).

В полосе пропускания αС = 0, тогда выражение (6.15) можно записать в следующем виде:

.

Учтем , что , тогда:

.                                          (6.20)

Подставим в выражение (6.20) , и учтем, что

получим                                                                                                , или

,                                  (6.21)

где – нормированная частота (при Ω=1).

В полосе задержания , тогда

.          (6.22)

Поскольку выражение (6.18) выполняется при условии, когда Z1 и Z2 имеют противоположные знаки, , то уравнение (6.22) примет вид:

.                  (6.23)

Чтобы равенство (6.23) выполнялось необходимо выполнить условие

.                                                  (6.24)

Так как в полосе задержания αс ≠ 0, то из уравнения (6.24) имеем , откуда фазовая постоянная фильтра в полосе задержания определяется равенством:

.                                                          (6.25)

Подставив в мнимые части выражения (6.23) получим:

,

откуда затухание фильтра в полосе задержания имеет вид:

.                                          (6.26)

Подставим в выражение (6.26) , и учтем, что и получим:

, или

.                                  (6.27)

Частотные зависимости затухания и фазы для Т- и П-образных фильтров одинаковы и приведены на рис. 6.14.

Рис. 6.14. Частотная зависимость затухания и фазы Т- и П-звеньев.

Фильтры типа k обладают двумя существенными недостатками. Во- первых, как видно из рис.6.14 они имеют малую крутизну характеристики ослабленияαс в полосе непропускания (задержания). Для устранения этого недостатка при построении реальных фильтров требуется использовать большое число Г-, Т- или П-звеньев. Во-вторых, как видно из рис. 6.13, характеристические сопротивления Т- и П-звеньев в полосе пропускания зависят от частоты, что не позволяет добиться удовлетворительного согласования фильтра с нагрузкой и генератором. Это приводит к отражению энергии, а следовательно и к потерям ее, и поэтому рабочее ослабление фильтра в полосе пропускания значительно отличается от нуля.

Чтобы избежать этих недостатков, на практике используют фильтры типа m. В этих фильтрах в одном из плеч индуктивность или емкость заменяются последовательным или параллельным колебательным контуром, которые дают всплески ослабленияαс на частоте резонанса контура. Последовательный колебательный контур ставят в поперечном плече и он на резонансной частоте шунтирует сигнал, а параллельный контур – в продольном плече и он на резонансной частоте не пропускает сигна.

k-фильтры верхних частот (ФВЧ). Все типы фильтров (верхних частот, полосовые и заграждающие) можно получить на основе фильтров нижних частот (ФНЧ). Для этого во всех выражениях для ФНЧ, содержащих переменнуюω , необходимо заменить эту переменную таким образом, что бы характеристики ФНЧ перешли в характеристики соответствующего фильтра. Подобная замена текущей частоты называетсяпреобразованием частоты , а исходный ФНЧ – фильтром НЧ-прототипа.

Для получения ФВЧ на основе фильтра НЧ необходимо в расчётных формулах ФНЧ произвести замену текущей частоты (ωфнч) на текущую частоту (ωфвч) по формуле

, тогда ,                          (6.28)

где – граничная частота ФВЧ.

Подставляя равенство (6.28) в формулу (6.21) получим выражение для фазы ФВЧ в полосе пропускания:

.                  (6.29)

Учитывая (6.27) и (6.28) характеристическое затухание в полосе задержания ФВЧ будет определяться выражением

.                          (6.30)

Подставив (6.28) в (6.9) и (6.10) и выполнив преобразования получим выражения для характеристических сопротивлений Т- и П-образных звеньев ФВЧ в виде

.                                                  (6.31)

.                                                  (6.32)

Определим сопротивление продольного Z1 и поперечного Z2 плеч ФВЧ. Для ФНЧ имели

и .                                  (6.33)

Учитывая (6.28) выражения (6.33) можно преобразовать к виду

;                          (6.34)

где ; .

На рис. 6.15,а изображены звенья ФНЧ, а на рис. 6.15,б – звенья ФВЧ

Рис. 6.15. Схемы Т- и П- звеньев ФНЧ (а) и ФВЧ (б).

Из выражения (6.34) видно, что для преобразования ФНЧ (рис. 6.15,а) в ФВЧ (рис. 6.15,б) необходимо индуктивность Lфнч заменить на ёмкость Cфвч, а ёмкость Сфнч – индуктивностью Lфвч.

Поясним работу ФВЧ на примере П-звена ФВЧ. На нижних частотах сопротивление продольного плеча велико и поэтому колебания нижних частот проходят на выход звена с большим ослаблением. Дополнительно эти колебания шунтируются сопротивлениями поперечных плеч, так как на нижних частотах индуктивное сопротивление мало. На высоких частотах продольное плечо имеет малое сопротивление, а поперечное– большое. Поэтому колебания высоких частот проходят через ФВЧ практически без ослабления.

Полосовые фильтры (ПФ) типа k. Для получения ПФ из прототипа ФНЧ необходимо текущую частоту ФНЧ (ωфнч) пересчитать в текущую частоту ПФ (ωпф) по формуле (      )

, ,                          (6.35)

где ω1, ω2 – граничные частоты ПФ. При ωфнч=ωгр выражение (6.35) имеет вид или , откуда получаем

.                                          (6.36)

Определим сопротивление продольного Z1 и поперечного Z2 плеч ПФ. Для этого в выражении (6.33) заменим текущее значение ω на текущее значение частоты ПФ, определяемое выражением (6.35) и после преобразований получим

;                                  (6.37)

где ; ; .

,                  (6.38)

где ; .

Звенья фильтра прототипа нижних частот показаны на рис. 6.15,а , а звенья ПФ, соответствующие выражениям (6.37) и (6.38) на рис. 6.16.

Рис. 6.16. Схемы Т- и П-звеньев ПФ.

Из выражений (6.37) и (6.38) следует, что для преобразования ФНЧ в ПФ необходимо индуктивность Lфнч в продольном плече заменить последовательным соединением L1пф и С1пф, а ёмкость Сфнч – параллельным соединением С2пф и L2пф.

Колебательные контуры ПФ настраиваются на центральную частоту . На этой частоте сопротивление последовательного колебательного контура очень мало, а параллельных – очень большое. Поэтому колебания с частотами близкими к будут проходить через фильтр с малым затуханием. В диапазоне частот ω2 < ω < ω1 сопротивление последовательного колебательного контура резко возрастает, а параллельных – резко падает, что приводит к резкому ослаблению сигнала.

Заграждающие фильтры (ЗФ) типа k. Эти фильтры должны не пропускать сигналы в полосе частот ω1 ÷ ω2. Поэтому они слева от ω1 имеют частотные характеристики ФНЧ, а справа от ω2 – характеристики ФВЧ.

Для преобразования ФНЧ в ЗФ необходимо в выражениях ФНЧ произвести замену частоты по формуле (      ):

,                                          (6.39)

где ωзф – текущая частота ЗФ, а ω0, ωгр, определяется выражением (6.35).

Подставляя (6.30) в выражения (6.33), определяющие плечи ФНЧ, и выполнив преобразования получим проводимость первого плеча и сопротивление второго плеча для ЗФ в следующем виде:

;

;

где ; ; ; .

Звенья фильтра прототипа нижних частот показаны на рис. 6.15,а, а звенья ЗФ, соответствующие выражениям (6.40) – на рис. 6.17.

Рис. 6.17. Схемы Т- и П-образных ЗФ.

Из выражений (6.40) видно, что для перехода от ФНЧ к ЗФ необходимо вместо индуктивности Lфнч в продольное плечо включить параллельный колебательный контур, а вместо ёмкости Сфнч – последовательный колебательный контур.

Колебательные контуры в плечах фильтра настраиваются на центральную частоту полосы задержания ω0 (режектирования). Так как в продольных плечах стоят параллельные колебательные контуры, а в поперечных – последовательные контуры, то сигналы с частотой близкой к ω0 сильно ослабляются в продольных плечах и дополнительно шунтируются поперечными плечами. На частотах ω2 < ω < ω1 сопротивление продольного плеча мало, а поперечного велико, поэтому колебания этих частот проходят через ЗФ с малым ослабдением.