6.3. Фильтры типа m
Получение фильтров типа m. Рассмотренные выше фильтры типа k имеют следующие недостатки:
а) обладают низкой крутизной характеристики затухания;
б) собственное (волновое) сопротивление фильтров зависит от частоты, что не позволяет выполнить хорошее согласование фильтра с нагрузкой.
Оказалось, что устранить эти недостатки можно путем изменения схемы фильтра типа k.
Фильтры, электрические параметры которых получают путем пересчета параметров фильтров типа k с использованием расчетного параметраm, называют фильтрами типа m.
Рис. 6.18. Схема и частотная зависимость затухания фильтра нижних частот типа m.
Например, если поперечное плечо Т-образного звена фильтра нижних частот типа k заменить последовательным контуром 
и 
(рис. 6.18), то получим новый вид фильтра, частотная зависимость затухания которого будет резко отличаться от частотной зависимости затухания фильтра типа k и примет вид, изображенный на рис. 6.18,в. Изменение характера частотной зависимости затухания нового фильтра объясняется увеличением шунтирующего действия поперечного плеча (контура 
) по мере приближения к его резонансной частоте, что приводит к увеличению крутизны частотной зависимости затухания. На резонансной частоте, когда сопротивление поперечного плеча равно нулю, фильтр окажется закороченным и его затухание будет бесконечно большим. Эта частота называется частотой бесконечного затухания и обозначается 
. Для сигналов с частотами выше 
затухание фильтра резко уменьшается, так как уменьшается шунтирующее действие поперечного плеча.
Подобный результат получается, если видоизменить схему фильтра типа k так, как это показано на рис. 6.18,б. В этом случае изменение характера частотной зависимости затухания объясняется резким увеличением сопротивления параллельных контуров 
и 2
по мере приближения к их резонансной частоте, что приводит к увеличению крутизны частотной зависимости затухания. При резонансной частоте 
, когда сопротивление продольного плеча становится бесконечно большим, фильтр не пропускает сигналов этой частоты и его затухание становится бесконечно большим. Для частот, выше резонансной, сопротивление продольного плеча резко уменьшается, что приводит к значительному уменьшению затухания.
Изменяя резонансную частоту поперечного плеча первой схемы или резонансную частоту продольного плеча второй схемы, можно получить желаемые частотные зависимости затухания фильтров.
Для определения сопротивления плеч фильтра типа m (
и 
) рассмотрим два Г-образные полузвена (рис. 6.19) в режиме согласованного их включения с Т-образных сторон.
Рис. 6.19. Г-образные полузвенья фильтров типа k и m.
Потребуем, чтобы полузвено фильтра типа m со стороны зажимов 1-1 обладало характеристическим сопротивлением, равным характеристическому сопротивлению фильтров типа k. Условие равенства характеристических сопротивлений обоих полузвеньев с Т-образной стороны имеет вид:
Zст(k) = Zст(m),
или
(6.41)
Если положить, что 
, где m – положительное число, 0 < m < 1, то можем записать:
(6.42)
Решая последнее равенство относительно 
, получим:
(6.43)
Из выражения (6.43) видно, что поперечное плечо Г-образного полузвена типа m должно состоять из двух последовательно соединенных сопротивлений:
и 
(6.44)
Звенья фильтров типа m, у которых схема поперечного плеча определяется выражением (6.44) называются последовательно-производными, при этом звенья фильтров типа k называются исходными. Схема последовательно-производного полузвена и составленные из них Т- и П-образные звенья приведены на рис. 6.20.
Рис. 6.20 Общие схемы последовательно – производных: Г–образного полузвена;Т- и П–образных звеньев фильтров типа m.
Если Г–образные полузвенья (рис. 6.19) расположить для соединения зажимами (2–2) и выполнить условие равенства их характеристических сопротивлений с П–образных сторон, то можем записать следующее равенство:
или
(6.45)
Примем, что
(6.46)
и решив уравнение (6.45) относительно 
, получим:
(6.47)
Из выражения (6.47) видим, что продольное плечо полузвена типа m должно состоять из параллельно соединенных сопротивлений:
и 
(6.48)
Звенья фильтров типа m, у которых схема продольного плеча определяется выражением (6.48), называются параллельно – производными. Таким образом, в обоих случаях звенья фильтров типа k являются исходными звеньями, а звенья фильтров типа m являются их производными. Схемы параллельно– производного звена типа m и составленные из них Т– и П– образные параллельно – производные звенья приведены на рис. 6.21.
Рис. 6.21. Общие схемы параллельно – производных: Г– образного полузвена; Т– и П– образных звеньев фильтров типа m.
Как следует из формул (6.44) и (6.48), величины сопротивлений плеч, а, следовательно, и значения элементов звеньев фильтров типа m определяются данными элементов фильтра типа k и величиной m. Приm = 1 фильтр типа m превращается в фильтр типа k.
Собственная (характеристическая) постоянная передачи фильтров типа m. Если сопротивления плеч фильтра 
и 
имеют разные знаки, то затухания фильтров типа m в полосе непропускания определяются из формулы:
(6.49)
Имели для последовательно-производных звеньев:
; 
для параллельно-производных звеньев:
После преобразований выражения (6.49) получим для обоих типов звеньев формулу для определения затухания:
(6.50)
Из формулы (6.50) видим, что затухание фильтров типа m зависит не только от сопротивлений плеч 
и 
, как это имело место в фильтрах типа k, но и от величины m.
При определенной частоте подкоренное выражение знаменателя в формуле (6.50) становится равным нулю, а затухание фильтра будет бесконечно большим. Следовательно, частота бесконечного затухания может быть определена из выражения:
. (6.51)
Отсюда следует, что
(6.52)
После частоты бесконечного затухания происходит изменение знаков 
или 
, и характер сопротивлений плеч становится одинаковым. В этом случае, как это следует из формулы (6.50), затухание необходимо рассчитывать по формуле:
(6.53)
При изменении частоты, когда 
увеличивается до бесконечности, затухание фильтров типа m уменьшается и стремится к постоянной величине. Действительно, если уравнение (6.53) привести к виду:
(6.54)
то при увеличении 
до бесконечности, значение 
будет стремиться к постоянной величине, равной:
(6.55)
В соответствии с уравнениями (6.50) и (6.53) на рис. 6.22 изображена зависимость затухания звена фильтра нижних частот типа m от нормированной частоты 
для различных значений параметра m.
Рис. 6.22. Частотная зависимость затухания ФНЧ И ФВЧ типа m при различных значениях m.
Из рис. 6.22 видно, что крутизна кривых затухания тем больше, чем меньше значение m, но при этом увеличивается спад кривой затухания после частоты бесконечного затухания. При определенной частоте затухание фильтров типа m становится меньше затухания фильтров типа k (см. кривуюm = 1) и стремится к величине:
(6.56)
Частотные зависимости, приведенные на рис. 6.22, могут быть использованы и для определения затухания ФВЧ. В этом случае нормированная частота определяется равенством: 
Фазовый сдвиг фильтров типа m в полосе пропускания определяется на основании общей формулы:
(6.57)
Из формулы (6.57) следует, что фазовый сдвиг фильтров типа m отличается от фазового сдвига фильтров типа k и изменяется различно в зависимости от величиныm.
На рис. 6.23,a приведены частотные зависимости фазового сдвига фильтра нижних частот для различных значений m, а на рис. 6.23,б – частотные зависимости фазового сдвига полосовых фильтров типов m и k. Из рис. 6.23 видно, что при любом значении m наклон частотных зависимостей фазового сдвига для частот, более удаленных от частоты среза (для фильтров верхних и нижних частот), и для частот, лежащих ближе к середине полосы пропускания (для полосовых фильтров), меньше, чем наклон кривой у фильтра типа k (см. рис 6.4). Наоборот, наклон частотной зависимости фазового сдвига для частот, расположенных ближе к частотам среза, больше, чем у фильтра типа k. В полосе непропускания до частоты бесконечного затухания фазовый сдвиг равен 
радиан.
Рис. 6.23. Сдвиг фазы от частоты для ФНЧ (а) и ПФ (б).
Так как после частоты бесконечного затухания сопротивления плеч имеют одинаковые знаки, то фазовый сдвиг становится равным нулю.
Собственное (характеристическое) сопротивление фильтров типа m. Характеристическое сопротивление П–звена фильтра типа k определяется формулой:
Тогда характеристическое сопротивление последовательно-производного П–образного звена фильтра типа m можно выразить:
Учтем, что 
, а 
, и подставив значения 
и 
в предыдущее равенство и преобразовав его, получим:
(6.58)
Из выражения (6.58) видим, что характеристическое сопротивление П-образного последовательно-производного звена фильтра типа m отличается от характеристического сопротивления П-образного звена фильтра типа k множителем:
(6.59)
и зависит от параметра m.
Характеристическое сопротивление Г-образного последовательно-производного полузвена фильтра типа m со стороны зажимов 2-2 (рис. 6.20,а) определяется по формуле (6.58). Следовательно, оно равно характеристическому сопротивлению П-образного последовательно-производного звена. Со стороны же зажимов 1-1 характеристическое сопротивление этого полузвена равно характеристическому сопротивлению Т-образного звена фильтра типа k.
Характеристическое сопротивление Т-образного фильтра типа k определяется выражением:
Тогда для параллельно-производного фильтра типа m (рис. 6.21,б) можно записать:
Так как 
, а 
, то, подставив значения 
и 
в предыдущее равенство и преобразовав его, получим:
(6.60)
Из выражения (6.60) видим, что характеристическое сопротивление П-образного параллельно-производного звена фильтра типа m отличается от характеристического сопротивления Т-образного звена фильтра типа k множителем
(6.61)
и зависит от параметра m. Согласно уравнениям (6.58) и (6.60) произведение характеристических сопротивлений Т- и П-образных звеньев фильтров типа m являются постоянной величиной, т.е.
(6.62)
Следовательно, характеристические сопротивления Т-образного параллельно-производного и П-образного последовательно-производного звеньев фильтров типа m являются обратными.
Частотные зависимости характеристических сопротивлений в соответствии с формулами(6.58) и (6.60) в полосе пропускания параллельно-производных звеньев фильтров типа m в зависимости от нормированной частоты 
при различных значениях m приведены на рис. 6.24.
Рис. 6.24. Частотные зависимости 
и 
в полосе пропускания ФНЧ и ФВЧ типа m при различных значениях m.
Из рис. 6.24 видно, что при m = 0.5
0.62 характеристическое сопротивление фильтров типа m обладает наибольшим постоянством. При подключении звеньев или полузвеньев фильтров типа m, обладающих постоянством характеристического сопротивления, на одном или обоих концах сложного фильтра улучшается согласование его с нагрузочными сопротивлениями, в результате чего улучшаются характеристики фильтров. Таким свойством обладают только П-образные последовательно-производные и Т-образные параллельно-производные звенья.
m-фильтры нижних частот. Если в формулы (6.47), (6.50) и (6.53) подставить значения 
и 
, то после преобразований получим формулы для расчета затухания и фазового сдвига фильтра нижних частот.
Затухание в полосе частот от 
до 
определяется по формуле:
(6.63)
при этом 
.
В полосе частот от 
до ∞ затухание определяется по формуле:
(6.64)
при этом 
.
Так как для фильтра нижних частот 
то для частоты бесконечного затухания уравнение (6.52) может быть записано в следующем виде:
Из этого равенства определяется значение m:
(6.65)
Откуда находим:
(6.66)
Из формулы (6.65) следует, что величина m определяется отношением 
и, чем ближе расположена частота бесконечного затухания к граничной частоте, 
тем меньше будет m.
Фазовый сдвиг в полосе пропускания фильтра нижних частот определяется по формуле:
(6.67)
Рис. 6.25. Частотные зависимости фильтра нижних частот типа m: затухания (а); фазового сдвига (б); характеристических сопротивлений Т-образного параллельно-производного и П-образного последовательно-производного звеньев (в).
Подставив значения 
и 
в уравнения (6.58), (6.60) и, произведя преобразования, получим формулы для расчета характеристического сопротивления фильтров нижних частот типа m:
(6.68)
(6.69)
Частотные зависимости фазового сдвига всех типов звеньев, а также характеристических сопротивлений П-образных последовательно-производных и Т-образных параллельно-производных звеньев фильтра нижних частот типа m приведены на рис. 6.25.
m-фильтры верхних частот. Если подставить в формулы (6.47), (6.48) и (6.57) значения
и 
то после преобразований получим формулы для расчета затухания и фазового сдвига фильтра верхних частот типа m.
Затухание в полосе частот от 
до 
определяется по формуле:
(6.70)
при этом 
, а в полосе частот от 
до 0 – по формуле:
(6.71)
при этом 
.
Фазовый сдвиг в полосе пропускания определяется по формуле:
(6.72)
Так как для фильтров верхних частот 
, то для частоты бесконечного затухания уравнение (6.52) может быть записано в следующем виде:
Из этого равенства в зависимости от 
значение m определяется по формуле:
(6.73)
Рис. 6.26. Частотные зависимости m-фильтра верхних частот: затухания (а); фазового сдвига (б);
характеристических сопротивлений Т-образного параллельно-производного и П-образного
последовательно-производного звеньев (в).
Таким образом, для верхних частот величина m определяется отношением 
.
Подставив значения 
и 
в уравнение (6.58) и (6.60) и преобразовав их, получим формулы для расчета характеристических сопротивлений Т- образных параллельно-производных и П-образных последовательно-производных звеньев фильтров верхних частот типа m.
(6.74)
Частотная зависимость затухания и фазового сдвига всех звеньев, а так же характеристических сопротивлений П-образного последовательно-производного и Т-образного параллельно-производного звеньев приведены на рис. 6.26.
Полосовые фильтры типа m. Подставив в формулы (6.50), (6.53) и (6.57) значения сопротивлений плеч фильтра типа k:
.
,
и, произведя преобразования, получим формулы для определения затухания и фазового сдвига полосового фильтра типа m.
Затухание в полосе частот от 
до 
и от 
до 
определяется по формуле:
; (6.75)
при этом 
.
Фазовый сдвиг в полосе пропускания определяется по формуле:
; (6.76)
где 
; 
; 
;
.
Таким образом, частота 
является одновременно среднегеометрической величиной граничных частот и частот бесконечного затухания. Отсюда следует, что частоты 
и 
расположены так же, как и 
и ω2гр по обе стороны от резонансной частоты 
. Частота 
расположена ниже 
, а ω2∞ – выше ω2гр.
Из формулы (6.71) следует, что произвольно можно выбрать только одну частоту бесконечного затухания. Например, выбираем ω1∞, тогда вторая частота бесконечного затухания определяется по формуле:
. (6.78)
Это обстоятельство является недостатком полосовых фильтров типа m, так как по условиям работы зачастую требуется выбирать частотыω1∞ и ω2∞ независимо одну от другой. Этот недостаток можно устранить, применяя специальные типы фильтров.
При подстановке в формулы (6.58) и (6.60) значений 
и 
сопротивлений плеч полосового фильтра типа k после преобразования получим формулы для расчета характеристических сопротивлений полосовых фильтров типа m. Эти формулы имеют следующий вид:
(6.79)
Частотные зависимости затуханий, фазового сдвига всех типов звеньев, а также характеристических сопротивлений П-образного последовательно-производного и Т-образного параллельно-производного звеньев приведены на рис. 6.27.
Рис. 6.27. Частотные зависимости полосового m-фильтра: затухания (а); фазового сдвига (б),
характеристических сопротивлений П-образного последовательно-производного и Т-образного параллельно-производного звеньев (в).
Выбор схем m-фильтров и определение величины m. Выбрать нужную схему фильтра можно на основании сравнения основных характеристик различных схем. Поэтому отметим вначале преимущества и недостатки фильтров типа m.
Преимуществами фильтров типа m являются:
1) Возможность получения большой крутизны частотной зависимости затухания, которая будет тем больше, чем меньше величина m.
2) Возможность получения большого постоянства характеристического сопротивления в полосе пропускания, которым обладают при соответствующем значенииm П-образные последовательно-производные и Т-образные параллельно-прозводные звенья.
Недостатками фильтров типа m являются:
1) Нежелательный спад частотной зависимости затухания после частоты бесконечного затухания, когда фильтр по сути перестает быть фильтром. При этом чем меньше величинаm , тем больше спад частотной зависимости затухания. Устранить этот недостаток удается только в комбинированных фильтрах, состоящих из каскадно-соединенных звеньев фильтра типа k и типа m.
2) Зависимость друг от друга частот бесконечного затухания 
и 
у полосовых и заграждающих фильтров, что не дает возможности произвольного выбора этих частот.
3) Более сложная схема по сравнению с фильтрами типа k.
На основании рассмотренных частотных зависимостей затухания и характеристического сопротивления для данного значения m можно привести следующие сравнительные характеристики различных фильтров.
Последовательно-производные и пареллельно-производные звенья фильтров в данной полосе пропускания имеют одинаковое затухание. Поэтому при условии получения фильтра с заданной крутизной частотной зависимости затухания можно выбрать любую сему звена.
Т-образные последовательно-производные и П-образные параллельно-производные звенья фильтров типа m имеют такие же частотные зависимости характеристических сопротивлений. Следовательно, применяя Т-образные последовательно-производные и П-образные параллельно-производные звенья фильтров типа m, также невозможно получить хорошее согласование фильтра с нагрузкой. Эти звенья обладают по сравнению со звеньями фильтров типа k единственным преимуществом– большой крутизной частотной зависимости затухания.
В полосе пропускания характеристическое сопротивление всех П-образных последовательно-производных и Т-образных параллельно-производных звеньев типа m при соответствующем значенииm имеет значительно большее постоянство, чем фильтров типа k, что дает возможность получить хорошее согласование фильтра с нагрузкой. Поэтому, когда к фильтрам предъявляется условие хорошего согласования с нагрузкой, необходимо применять Т-образные последовательно-производные и П-образные параллельно-производные звенья фильтров типа m.
Характеристическое сопротивление в полосе непропускания всех П-образных последовательно-производных звеньев, начиная от частоты бесконечного затухания, непрерывно возрастает по мере удаления в полосу непропускания. Следовательно, П-образные последовательно-производные звенья фильтров типа m при параллельном подключении не будут шунтировать сигналы, частоты которых находятся в полосе непропускания этих фильтров.
Т-образные параллельно-производные звенья фильтров типа m в весьма узком интервале частот ωгр до ω∞ обладают возрастающим характеристическим сопротивлением. В остальной полосе частот по мере удаления от ω∞ в полосу непропускания характеристическое сопротивление непрерывно убывает, следовательно, шунтирующее действие этих звеньев будет возрастать. Поэтому для параллельной работы Т-образные параллельно-производные непригодны.
Характеристические сопротивления полузвеньев фильтров типа m различны с каждой стороны зажимов 1-1 и 2-2 и зависят от их схемы. Эти свойства полузвеньев используются для согласованного соединения звеньев фильтров типа k со звеньями фильтров типа m.
Величина m, определяющая значение элементов, а следовательно, и характеристическое сопротивление фильтра типа m, является его расчетным параметром. Наилучшее согласование фильтра с нагрузкой достигается приm = 0.6.
Когда к звеньям фильтров типа m по условиям их работы не предъявляются требования постоянства характеристического сопротивления в полосе пропускания, то величинуm выбирают, исходя только из требования получения необходимой крутизны частотной зависимости затухания. Однако при этом, необходимо учитывать, что при меньших значениях m одновременно с увеличением крутизны частотной зависимости затухания происходит резкое уменьшение затухания после частоты бесконечного затухания. Следовательно, при выборе оптимального значения параметраm необходимо одновременно учитывать влияние m на частотные зависимости затухания и характеристических сопротивлений фильтров