6.4. Полиноминальные фильтры

6.4. Полиноминальные фильтры

Рабочие характеристики полиноминальных фильтров. Основной характеристикой фильтров является их способность пропускать электрические сигналы в полосе пропускания без ослабления (α=0) и не пропускать их в полосе непропускания (α = ∞). Такими свойствами обладает идеальный фильтр, амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) и характеристика затухания которого показаны на рис. 6.28,а и б и определяются выражением:

α(ω) = 0 при 0 < ω < ωгр                                          (6.80)

α(ω) = ∞ при ω > ωгр

Рис. 6.28. Частотные характеристики идеального фильтра.

Получить реальные фильтры с такими характеристиками не представляется возможным. Поэтому задают максимально допустимое значение ослабления в полосе пропускания и минимально допустимое значение ослабления в полосе задержания. Эти параметры называются рабочим ослаблением фильтра и обозначаютсяαpmax и αpmin.

Рабочее ослабление фильтра, представленного в виде согласованного симметричного четырехполюсника, и его АЧХ связаны выражением :

.          (6.81)

В теории фильтров принято анализировать не АЧХ, а квадрат АЧХ, тогда выражение (6.81) примет вид:

,  (6.82)

или, извлекая квадратный корень, имеем:

.          (6.83)

Фильтры, которые имеют АЧХ подобную выражению (6.83) называются полиноминальными.

В общем виде АЧХ и рабочее ослабление полиноминальных фильтров определяется выражением:

         (6.84)

,          (6.85)

где – нормированная частота.

Рабочие характеристики фильтров, определенные (6.84) и (6.85) могут при надлежащем выборе степени полинома (порядка фильтра) и коэффициентовdm приближаться к характеристикам идеального фильтра. Следовательно, получение фильтра с требуемыми рабочими параметрами αpmax и αpmin сводиться к решению задачи сближения рабочей АЧХ с АЧХ идеального фильтра. Подобные задачи решаются известными методами аппроксимации, к которым относится приближение по Тейлору, приближение по Чебышеву и приближение по Баттерворту.

Фильтры Баттерворта. Баттерворт предложил в выражениях (6.84) и (6.85) принять коэффициенты , а коэффициент dm=1, тогда эти выражения принимают вид:

;                                          (6.86)

.                                  (6.87)

В этих выражениях, определяющих рабочие характеристики фильтра, используется полином Баттерворта:

.                                                  (6.88)

Поэтому фильтры, квадрат АЧХ которых определяется выражением (6.86) и рабочее ослабление – выражением (6.87), называются фильтрами Баттерворта.

Из выражений (6.86) и (6.87) видно, что при Ω=0 , а . С ростом частоты уменьшается и при Ω=∞ . Рабочее ослабление с ростом частоты плавно растет и при Ω=∞ . Таким образом квадрат АЧХ и рабочее ослабление фильтра Баттерворта приближенно воспроизводят характеристики идеального фильтра (рис. 6.28).

Потребуем, чтобы фильтр в полосе пропускания () имел рабочее ослабление меньшее αpmax , а в полосе задержания (ω>ωз) большее αpmin , как показано на рис. 6.29,а.

Рис. 6.29. Рабочие характеристики фильтра.

Сформированные требования будут выполнены, если фильтр в соответствии с выражением (6.82) будет иметь квадрат АЧХ (рис. 6.29,б), т.е.

.                          (6.89)

Из выражений (6.89) и (6.86) следует, что фильтр Баттерворта будет отвечать первому требованию, если потребовать на граничной частоте пропускания (Ω=1) выполнения равенства:

.                                          (6.90)

Тогда с учетом (6.86) при Ω = 1 можно записать , откуда .

Обычно d0 обозначают ε2 , тогда

                                         (6.91)

Величина ε называется коэффициентом неравномерности ослабления в полосе пропускания фильтра и измеряется в неперах (Нп) и (дБ).

Подставляя введенные обозначение в выражения (6.86) и (6.87) получим формулы, определяющие квадрат АЧХ фильтра Баттерворта и его рабочее ослабление:

;                                          (6.92)

.                          (6.93)

Частотные характеристики квадрата АЧХ (6.92) и рабочего ослабления (6.93) фильтра Баттерворта приведены на рис. 6.30.

Рис. 6.30. Частотные характеристики фильтра Баттерворта.

Из рис. 6.30 видно, что крутизна частотных характеристик (6.92) и (6.93) зависит от степени полинома m, который определяет порядок фильтра. Выбирая нужный порядок фильтра m можно получить требуемое ослабление в полосе задержания (Ω>Ωз).

Получим выражения для расчета порядка фильтра m. Для этого потребуем, чтобы на граничной частоте полосы задержания Ωз рабочее затухание было больше αpmin и тогда на основании выражения (6.89) получим:

.

Подставляя это неравенство в выражение (6.92), получим (), откуда . Беря логарифм получим , откуда

,          (6.94)

Фильтры Чебышева. Для приближения частотных характеристик полиноминальных фильтров (6.84) и (6.85) к частотным характеристикам идеального фильтра (рис. 6.28) Чебышев предложил полином вида:

при m≥2.                  (6.95)

Известны и другие формы записи полиномов Чебышева. В интервале частот -1≤Ω≤1 полином представляется выражением:

.                                          (6.96)

Вне интервала частот -1≤Ω≤1 полином равен

.                                          (6.97)

Если в формулы (6.92) и (6.93) вместо полинома Баттерворта поставить полином Чебышева , то формулы примут вид:

                         (6.98)

Фильтры с частотными характеристиками (6.98) называются фильтрами Чебышева. В этих выражениях m определяет порядок полинома и фильтра,    ε – коэффициент неравномерности ослабления и определяется выражением (6.91).

Из выражения (6.98) видно, что частотные характеристики фильтров Чебышева определяются частотным поведением полиномов.

Полином Чебышева четвертого порядка имеет вид

.

График изменения полинома приведен на рис. 6.31.

Рис. 6.31. Частотная зависимость полинома T4(Ω)

Рис. 6.32. Частотная зависимость рабочего ослабления фильтра Чебышева 4-го порядка.

Из рис. 6.31 видно, что в полосе пропускания (0 ≤ Ω ≤ 1) полином принимает нулевые значения и значения ±1.

В соответствии с (6.98) рабочее ослабление фильтра Чебышева на тех частотах Ω, где =0. На тех частотах, где =±1 рабочее ослабление достигает максимального значения:

.                                          (6.99)

Частотная зависимость рабочего ослабления фильтра Чебышева четвертого порядка приведена на рис. 6.32.

Порядок фильтра m определим из условия:

.                                        (6.100)

В полосе задержания , тогда в этой полосе должно выполнятся условие:

.

Из этого условия находим:

.

Последнее неравенство можно записать:

,

откуда

       (6.101)

Сравнительные характеристики полиноминальных фильторв. Частотные характеристики фильтров Баттерворта нижних и верхних частот приведены на рис. 6.33. Из рисунков видно, что в полосе пропускания (Ω=0÷1 для ФНЧ и Ω=1÷∞ для ФВЧ) АЧХ весьма близка к равномерной и ее называют максимамьно плоской. Наклон АЧХ в области переходного участка, от полосы пропускания к полосе задержания (непропкускания), равен6дБ/октава на полюс. Это означает, что при изменении частоты в два раза (на одну октаву) коэффициент передачи фильтра 1-го порядка (однополюсного фильтра)К(Ω) изменяется на 6дБ. Следовательно фильтр Баттерворта 4-го порядка (4-х полюсный фильтр) будет иметь наклон переходного участка АЧХ, равный 24дБ/октава, т. е. крутизна спада АЧХ в области граничной частоты увеличивается на 6дБ с увеличением порядка фильтра на единицу. На рис.6.33 цифрами обозначены графики АЧХ фильтров 1÷4 порядков.

Фильтр Баттерворта имеет нелинейную фазово-частотную характеристику; т. е. время, которое требуется для прохождения сигнала через фильтр зависит от частоты нелинейно. Поэтому ступенчатый сигнал или импульс, поданный на вход фильтра Баттерворта вызывает выброс на его выходе. Используется фильтр Баттерворта в тех случаях, когда желательно иметь одинаковый коэффициент усиления для всех частот в полосе пропускания.

Рис. 6.33. Частотные характеристики фильтров Баттерворта нижних (а) и верхних частот (б).

1- однополюсного(первого порядка); 2- двухполюсного; 3- трехполюсного; 4-четырехполюсного; 5- пятого порядка; fср=1кГц.

Частотные характеристики фильтров Чебышева нижних и верхних частот приведены на рис. 6.34 и 6.35. Из рисунков видно, что они имеют волнообразные зубцы в полосе пропускания и равномерны в полосе подавления. Количество зубцов характеристики в полосе пропускания такого фильтра тем больше, чем выше его порядок. Амплитуда этих зубцов может быть задана при конструировании фильтра и обычно устанавливается на уровне0,5, 1, 2 или 3дБ , причем увеличение допустимой амплитуды зубцов позволяет получить более крутой наклон характеристики фильтра на переходном участке. Это свойство фильтров Чебышева иллюстрируется на примере низкочастотного фильтра Чебышева второго порядка (рис. 6.34) и ФВЧ второго (2) и третьего (1) порядков (рис. 6.35).

На переходном участке наклон характеристики фильтра Чебышева может превышать 6 дБ/октава на один полюс.

Рис 6.34. Частотные характеристики фильтров Чебышева нижних частот второго порядка

Фильтр Чебышева используют в тех случаях, когда желательно иметь на переходном участке очень крутой наклон характеристики. Зависимость ослабления (в децибелах) на переходном участке фильтра от частоты имеет вид:

,

где n- порядок фильтра, ε = (0 ÷ 1) – определяет неравномерность характеристики фильтра в полосе пропускания. Из приведенного выражения видно, что затухание на переходном участке у фильтра Чебышева больше, чем у фильтра Баттерворта, на величину . При данном наклоне переходного участка характеристики фильтры Чебышева могут иметь меньшее число полюсов и быть более простыми, чем фильтры Баттерворта. Их можно использовать в тех случаях, когда не требуется, чтобы амплитудно-частотная характеристика фильтра была равномерна в полосе пропускания.

Для фильтров Чебышева запаздывание по фазе более нелинейно, чем для фильтров Баттерворта. Чем выше порядок и чем больше неравномерность (в полосе пропускания) фильтра Чебышева, тем более нелинейна его фазово-частотная характеристика и тем большие выборы будут образовываться на выходном сигнале при подаче на вход фильтра импульсных сигналов.

Частота, на которой образуются выбросы (пики) называется пиковой частотой. Пиковая частота ωп связана с граничной частотой ωгр соотношениями:

(для фильтра нижних частот),

(для фильтра верхних частот),

где α – коэффициент затухания.

Рис. 6.35. Частотные характеристики фильтра Чебышева верхних частот шестого порядка (1),

второго порядка (2).

Частотная характеристика фильтра Бесселя приведена на рис. 6.36.

Фильтры Бесселя являются фильтрами с линейной фазой или с линейной задержкой. Это значит, что запаздывание по фазе сигнала на выходе фильтра относительно сигнала на его входе линейно возрастает с частотой. Поэтому фильтры Бесселя почти не дают выброса при подаче на их вход ступенчатых сигналов. Это свойство делает такие фильтры наиболее подходящими для фильтрации прямоугольных колебаний без изменения их формы.

Фильтры Бесселя имеют наклон характеристики на переходном участке менее 6 дБ/октава.

Рис. 6.36. Частотные характеристики фильтра нижних частот Бесселя второго порядка.