7.2. Волновые характеристики длинной линии

7.2. Волновые характеристики длинной линии

Выполним анализ волнового уравнения (7.8) для частного случая, когда на входе линии действует гармоническое колебание вида:

.                                                    (7.9)

Найдем вторую производную от входного воздействия, при этом знак дифференцирования заменим оператором jω. Тогда получим:

                                                 (7.10)

 

Выражение (7.10) подставим в (7.8):

.                                                  (7.11)

Обозначим

,                                                          (7.12)

где k – волновое число, которое характеризует процесс распространения гармонического колебания в длинной линии.

Учитывая (7.12), запишем волновое уравнение (7.11) в следующем виде:

;                                          (7.13)

где U1 – гармоническое колебание.

Решением уравнения (7.13) будет выражение

,                                  (7.14)

где Uот – отраженная волна;

        Uпр – прямая волна.

Из (7.14) видно, что при гармоническом воздействии в линии распространяются в общем случае две волны: одна движется слева направо (прямая, падающая или бегущая), а вторая– справа налево (отраженная, обратная).

Предположим, что в линии созданы условия, когда имеется только прямая волна. Тогда (7.14) примет вид:

.                                          (7.15)

Исходя из начальных условий, следует, что в начале линии действует гармоническое колебание U1, тогда Uпр = U1 и (7.15) примет вид:

.                                                  (7.16)

Определим сопротивление линии (Z) при условии, что в ней действует только сигнал (7.16). По определению

                                                         (7.17)

Видно, что для определения сопротивления линии необходимо знать ток и напряжение. Ток найдем из выражения (7.3):

,

которое можно записать в следующем виде:

,

тогда

.                                                  (7.18)

Производную определим для случая гармонического колебания (7.16):

.

Учитывая, что в начале линии x = 0, получим:

.                                                  (7.19)

Подставляя (7.19) в (7.18), получим:

.

Учитывая (7.12), находим ток в начале линии:

.

Зная ток и напряжение в начале линии, находим ее входное сопротивление:

,                  (7.20)

где ρ – волновое сопротивление длинной линии.

В результате анализа волновых уравнений длинной линии установлено, что линия полностью характеризуется следующими параметрами:

скоростью распространения волны в линии:

;

волновым числом:

;

фазой волны:

;

волновым сопротивлением:

,

где λ – длина волны,

        β – характеризует фазу волны на расстоянии x от начала линии.

В более общем виде процесс распространения волны в линии характеризуют используя понятия коэффициентов отражения волн тока и напряжения, коэффициента бегущей волны, коэффициента стоячей волны.