7.2. Волновые характеристики длинной линии
Выполним анализ волнового уравнения (7.8) для частного случая, когда на входе линии действует гармоническое колебание вида:
. (7.9)
Найдем вторую производную от входного воздействия, при этом знак дифференцирования заменим оператором jω. Тогда получим:
(7.10)
Выражение (7.10) подставим в (7.8):
. (7.11)
Обозначим
, (7.12)
где k – волновое число, которое характеризует процесс распространения гармонического колебания в длинной линии.
Учитывая (7.12), запишем волновое уравнение (7.11) в следующем виде:
; (7.13)
где U1 – гармоническое колебание.
Решением уравнения (7.13) будет выражение
, (7.14)
где Uот – отраженная волна;
Uпр – прямая волна.
Из (7.14) видно, что при гармоническом воздействии в линии распространяются в общем случае две волны: одна движется слева направо (прямая, падающая или бегущая), а вторая– справа налево (отраженная, обратная).
Предположим, что в линии созданы условия, когда имеется только прямая волна. Тогда (7.14) примет вид:
. (7.15)
Исходя из начальных условий, следует, что в начале линии действует гармоническое колебание U1, тогда Uпр = U1 и (7.15) примет вид:
. (7.16)
Определим сопротивление линии (Z) при условии, что в ней действует только сигнал (7.16). По определению
(7.17)
Видно, что для определения сопротивления линии необходимо знать ток и напряжение. Ток найдем из выражения (7.3):
,
которое можно записать в следующем виде:
,
тогда
. (7.18)
Производную 
определим для случая гармонического колебания (7.16):
.
Учитывая, что в начале линии x = 0, получим:
. (7.19)
Подставляя (7.19) в (7.18), получим:
.
Учитывая (7.12), находим ток в начале линии:
.
Зная ток и напряжение в начале линии, находим ее входное сопротивление:
, (7.20)
где ρ – волновое сопротивление длинной линии.
В результате анализа волновых уравнений длинной линии установлено, что линия полностью характеризуется следующими параметрами:
скоростью распространения волны в линии:
;
волновым числом:
;
фазой волны:
;
волновым сопротивлением:
,
где λ – длина волны,
β – характеризует фазу волны на расстоянии x от начала линии.
В более общем виде процесс распространения волны в линии характеризуют используя понятия коэффициентов отражения волн тока и напряжения, коэффициента бегущей волны, коэффициента стоячей волны.