2. Сигналы в электрических цепях

2. Сигналы в электрических цепях

2.1. Гармонические сигналы

Токи и напряжения, действующие в электрических цепях как материальные носители информации называются сигналами.

По характеру изменения во времени различают гармонические, периодические, негармонические и непериодические сигналы.

Гармонические колебания можно представить различными способами: функциями времени; вращающимися векторами; комплексными числами; амплитудными и фазовыми спектрами.

Временное представление гармонических сигналов. На рис. 2.1 показано изменение гармонических колебаний во времени

На основании рис.2.1 можно записать следующее выражение для гармонических напряжений и токов:

                                           (2.1)

где -амплитуды, угловая частота и начальные фазы напряжения и тока.

Кроме перечисленных параметров гармонический сигнал характеризуется периодом повторения T и циклической частотой . Между параметрами имеется следующая связь:

;                                    (2.2)

Период измеряется в секундах (с), циклическая частота – в герцах (Гц), угловая частота – в радианах в секунду (рад/с).

Часто гармонические колебания характеризуются не только мгновенными значениями (2.1), но и их действующим и средним значениями.

Действующие значения гармонических колебаний (2.1) определяются выражениями:

;           (2.3)

Средние значения гармонического тока и напряжения за период T определяются выражениями:

                   (2.4)

Средние значения гармонического тока и напряжения за полпериода равны:

           (2.5)

Временное представление гармонических колебаний в виде выражения (2.1) и рис.2.1. является наглядным, однако его использование при анализе цепей затруднительно, так как требует проведения громоздких тригонометрических преобразований. Поэтому в зависимости от характера решаемых задач гармонические колебания могут быть представлены вращающимися векторами (векторные диаграммы); комплексными числами; амплитудными и фазовыми спектрами.

Векторное представление гармонических сигналов. На рис. 2.2. показано векторное представление двух гармонических токов:

                                           (2.6)

Рис. 2.2. Векторная диаграмма гармонических сигналов.

На основании правила суммирования векторов запишем:

                           (2.7)

где и – амплитуда и фаза результирующего колебания, которые соответственно равны:

                   (2.8)

Представление гармонических сигналов в виде комплексных величин. Развитие алгебры потребовало ввести кроме положительных и отрицательных чисел комплексные числа. С помощью этих чисел облегчается процедура разыскания многих связей между действительными величинами. Комплексное число Z имеет вид:

,                                                            (2.9)

где и – действительные числа, а , или – мнимая единица. Числа и соответственно называются абсциссой и ординатой комплексного числа Z.

Запись комплексного числа в виде выражения (2.9) называется алгебраической формой записи. Кроме алгебраической формы записи комплексное число можно представить на комплексной плоскости, которая получается из плоскости XOY путём замены обозначений OX на (), а OY на (), как показано на рис. 2.3.

Изобразим комплексное число (2.9) на плоскости рис.2.3. Для этого на прямой действительных чисел () отложим отрезок равный числу , а на прямой мнимых чисел () отложим отрезок равный и получим точку М с координатами ().

Длина вектора называется модулем комплексного числа, а угол – его аргументом.

Из рис. 2.3. видно, что

                                         (2.10)

Подставляя (2.10) в (2.9) получим:

.                                  (2.11)

Выражение (2.11) называется тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Учитывая формулу Эйлера

                                         (2.12)

соотношение (2.11) можно записать в следующем виде

                                                         (2.13)

которое называется показательная форма записи комплексного числа.

Представим ток (2.1) на комплексной плоскости. Для этого изобразим амплитуду тока Im а комплексной плоскости с учётом начальной фазы (рис. 2.4).

Пусть вектор Im вращается в положительном направлении (против часовой стрелки) с угловой частотой . На основании рис.2.4. значение тока в любой момент времени в комплексной плоскости (комплексный гармонический ток) будет определяться комплексной величиной.

         (2.14)

где                                ,                                                  (2.15)

называется комплексной амплитудой тока.

Спектральное представление гармонических сигналов. Известно, что сложный сигнал состоит из множества гармонических колебаний (гармоник). Каждая гармоника имеет свою частоту, амплитуду и фазу. Следовательно,  сложный сигнал можно представить в виде аналитического выражения и графика, которые показывают как распределены амплитуды и фазы гармоник по частоте. Представление сигналов в виде распределения амплитуд и фаз их гармоник по частоте называется спектральным представлением, а формулы и графики, показывающие такую зависимость, называются спектрами сигналов. На графиках амплитуды гармоник обозначаются в виде линейных отрезков, величины которых пропорциональны амплитудам гармоник на данной частоте.

Рис.2.5. Амплитудный (а) и частотный (б) спектры гармонического сигнала.

Пусть гармонический сигнал имеет амплитуду , угловую частоту и начальную фазу .Тогда спектральное (частотное) его представление состоит в задании распределения амплитуд и фаз по частоте (рис. 2.5).

Распределение амплитуд по частоте (рис. 2.5,а) называется амплитудно-частотным спектром (АЧС), а распределение фаз по частоте (рис. 2.5,б) – фазо-частотным спектром (ФЧС).