7. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

7. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

7.1. Волновые уравнения длинной линии

Электрические цепи, в которых индуктивность L, емкость С, активное сопротивление R сосредоточены в катушке, конденсаторе и резисторе называются цепями с сосредоточенными параметрами.

Однако имеются электрические цепи, в которых индуктивность, емкость и активное сопротивление распределены по длине цепи, например, в линиях передачи электромагнитных колебаний (в двухпроводных линиях, в фидерах, в волноводах). Такие цепи называются цепями с распределенными параметрам или длинными линиями.

Одна и та же цепь может вести себя как система с сосредоточенными или распределенными параметрами в зависимости от частоты (длины волны) сигнала, который действует в данной цепи.

 

Если длина цепи совпадает с длиной волны λ колебания, то изменение мгновенного значения напряжения в конце цепи запаздывает на целый период Т по сравнению с изменением мгновенного значения входного напряжения. Действительно, если на входе действует гармоническое колебание с частотой f и оно распространяется со скоростью света С, то за время, равное периоду колебаний Т, оно пройдет расстояние, равное длине волны электромагнитного колебания .

В цепях, в которых выполняется условие , запаздывание входного сигнала может составить несколько периодов колебаний. Это означает, что если , то напряжение (ток), распространяющееся в данной цепи, является функцией времени и расстояния от начала цепи. Такие цепи являются цепями с распределенными параметрами.

Если длина цепи намного меньше длины волны, т.е. если , то изменения напряжения (тока) в любой точке и в конце цепи происходят одновременно с изменением напряжения (тока) на входе цепи. Сигнал в такой цепи не запаздывает и является только функцией времени. Такие цепи являются цепями с сосредоточенными параметрами.

Электрические свойства длинной линии характеризуются ее первичными параметрами. В качестве таких параметров используют активное сопротивление единицы длины линии R (Ом/км или Ом/м), индуктивность единицы длины линии L (Гн/км или Гн/м), емкость единицы длины линии С (Ф/км или Ф/м) и проводимость изоляции единицы длины линии G (см/км или см/м).

Сопротивление R обусловлено омическим сопротивлением проводов линии единичной длины. Индуктивность L определяется отношением магнитного потока, сцепляющегося с контуром единичной длины, к току, который создает этот поток. Емкость С определяется отношением заряда, приходящегося на единицу длины линии, к напряжению между проводами линии. Проводимость G представляет собой активную составляющую проводимости изоляции между проводами, отнесенную к единице длины линии.

После введения понятия о первичных параметрах линию можно рассматривать как цепь с бесконечно большим числом звеньев, электрические параметры которых бесконечно малы. Отрезок такой линии и его эквивалентная схема изображены на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Отрезок линии длиной dx и его эквивалентная схема.

На основании схемы приращения напряжений du и токов di запишем в следующем виде:

                                           (7.1)

Разделим эти выражения на dx:

                                           (7.2)

Все линии, применяемые на практике, имеют потери. Однако линии конструируются таким образом, чтобы потери были минимальными.

Длинная линия, в которой R = 0 и G = 0, называется идеальной (или линией без потерь). Для такой длинной линии выражения (7.2) примут вид:

                                                   (7.3)

Уравнения (7.3) называются волновыми уравнениями, которые описывают распространение волн тока и напряжения в длинной линии без потерь.

Продифференцируем в (7.3) первое уравнение по x, а второе – по t, получим:

                                           (7.4)

Из второго уравнения получаем:

.

Подставим полученный результат в первое уравнение:

или                                                            (7.5)

Аналогично можно получить выражения для тока путем дифференцирования в выражении (7.3) первого уравнения по t, а второго – по x:

;

.

Из первого уравнения находим

и подставляем полученный результат во второе уравнение:

или                                                    (7.6)

Обозначим скорость распространения электрической волны в длинной линии

.                                                            (7.7)

С учетом выражения (7.7) уравнения (7.5) и (7.6) будут иметь вид:

                                                   (7.8)

Выражение (7.8) называют волновым уравнением длинной линии.