исследование вынужденных колебаний, возникающих в колебательном контуре под действием внешней синусоидальной ЭДС

Цель работы: исследование вынужденных колебаний, возникающих в колебательном контуре под действием внешней синусоидальной ЭДС.

5.1 Краткая теория вопроса

Предположим, что внешняя сила, действующая  на колебательную систему периодична и имеет синусоидальную форму:

                            ƒ(t)= F cos ωt,                                         (5.1)

где  ω – круговая частота изменения внешней силы, отличная от частоты собственных колебаний  ωо.  

Дифференциальное уравнение описывающее колебательный процесс системы записывается в этом случае следующей формулой:

                                        (5.2)

где

m – масса колебательной системы

δ – коэффициент затухания

S – смещение колебательной системы

Если синусоидальная сила действует на незатухающую  колебательную систему, то δ = 0 и можно записать:

                                                        (5.3)

Решением данного дифференциального уравнения при начальных условиях S = B (максимальное отклонение) и в момент времени t = 0 является следующее выражение:

                                                                         (5.4)

где  – амплитуда вынужденных колебаний при ω→ωо, B→∞, т.е. неограниченно возрастает.

Если синусоидальная сила начинает действовать в момент времени t = 0, а система в этот момент времени находилась в покое, то S = 0 и . В этом случае решением уравнения (5.3) является выражение:

                 (5.5)

В случае резонанса, когда ω = ωо, имеем:

                                                                                    (5.6)

Формула (5.6) изображает неограниченно возрастающее колебание с течением времени (рис.5.1).

Рис.5.1. Неограниченно возрастающее колебание с течением времени

Учет потерь в колебательной системе приводит к уравнению (5.2). При ω = ωо можно записать:

Если колебательная система находится в резонансе, т.е. совершает колебания с частотой  ωо, то в установившемся режиме потери в ней полностью компенсируются внешним воздействием, поэтому можно записать, что:

                                (5.7)

В этом случае:

Скорость смещения колебательной системы (из формулы 5.7) равна:

Откуда

                                                                               (5.8)

Это синусоидальное колебание с постоянной амплитудой и каковы бы не были начальные условия, колебания системы с течением времени приближаются к этому периодическому колебанию с частотой ωо и постоянной амплитудой . Последняя обратно пропорциональна затуханию δ и при δ = 0 обращается в бесконечность (незатухающая колебательная система).

Стационарный вынужденный колебательный процесс устанавливается в колебательной системе не мгновенно. Если затухание мало и в начальный момент (t=0) колебаний нет (S = 0, ), тогда на первой стадии процесса установления слагаемое 2δ не играет заметной роли. С большим приближением этот процесс описывается формулой (5.6).

Точная формула, описывающая колебание, происходящее в колебательной системе с учётом затухания при начальных условиях  S=0, имеет вид:

                                      (5.9)

где  .

Если  δ<<ωо, то можно записать:

                                                (5.10)

Процесс установления длится тем дольше, чем меньше δ  (рис.5.2).

Рис. 5.2. Установление стационарного вынужденного
колебательного процесса

При δ→0 формула (5.10) переходит в (5.6).

Рассмотрим параллельный колебательный контур, в котором возникают  вынужденные колебания под действием внешней синусоидальной ЭДС, обеспечиваемой генератором  низкой частоты ГНЧ (рис.5.3).

Рис.5.3

Напряжение генератора низкой частоты подается на контур через электронное реле (ЭР) и разделительный конденсатор С1, ёмкость  которого намного меньше ёмкости конденсатора контура  С2. Электронное реле вырезает участки (цуги) длительностью  τ1 разделенные интервалом τ2, как это показано на рис.5.4.

Рис. 5.4

Так как С1<<С2, то, пренебрегая падением напряжения U2 на колебательном контуре по сравнению с напряжением U1  на емкости С1, найдем, что:

                                               (5.11)

Для колебательного контура имеем:

                                              (5.12)

Заменяя в этой формуле i1, равный:  

i1 =  i – i2

получим:

учитывая (5.11) будем иметь:

                    (5.13)

Это уравнение можно представить в виде:

или               (5.14)

Уравнение (5.14) полностью аналогично (5.2) и его решением в резонансной области при малых затуханиях является выражение (5.10).

Время установления вынужденных колебаний в контуре определяется величиной коэффициента затуханием:

                                                                                         (5.15)

При условии, что  τ1 > τ2, за время длительности цуга в контуре успевают установиться вынужденные колебания с постоянной амплитудой. После прекращения цуга колебания в контуре затухают  согласно уравнения:

                     ,                                (5.16)

где  , с той же постоянной времени τ.

При этом τ2  выбирается больше τ. Реакции контура на каждый цуг одинаковы, так что процесс установления и затухания колебаний периодически повторяется.

5.2 Порядок выполнения работы

1. Соедините кабелем вход генератора низкой частоты с входом осциллографа (О) и установите на его экране амплитуду сигнала генератора в пределах 1÷2 В с частотой около 15 кГц. Генератор выключить.
2. Источник питания подсоедините к вольтметру постоянного напряжения. Включите источник и регулятором выходного напряжения установите на его выходе 9В. Источник выключить.
3. Соберите схему исследования согласно рис. 5.3 и пригласите руководителя для её проверки.
4. Включите источник питания.
5. Включите генератор низкой частоты.
6. Изменяя частоту генератора, определите резонансную частоту электрического колебательного контура по максимальной амплитуде цуга на экране осциллографа. Зарисуйте реальную осциллограмму цуга и объясните причину её отличия от показанной на рисунке 5.4.
7. Оцените длительность цугов τ1 и интервал времени между цугами τ2 (рис.5.4). Для этого подберите такую частоту развёртки осциллографа, чтобы на экране укладывалось 2-3 цуга. Сопротивление магазина сопротивлений МС при этом должно быть равно нулю.  
8. Вычислите резонансную частоту исследуемого контура, если индуктивность контура Lк равна 0,2 мГн, а ёмкость конденсатора контура С2 равна 0,47 мкФ. Сравните вычисленное значение резонансной частоты с определённой экспериментально.
9. Измеряя максимальное значение установившихся колебаний в пределах цуга на экране осциллографа при разных значениях частоты генератора вблизи резонанса (4-5 измерений в каждую сторону от резонанса), снимите зависимость амплитуды установившихся колебаний в контуре от частоты U = f(ν) при сопротивлении магазина сопротивлений Rм равном нулю и значении Rм, которое задаёт руководитель работ. Данные занести в таблицу. По данным таблицы постройте отдельно снятые зависимости U = f(ν).

1. Определите на основании построенных резонансных кривых добротности контура по формуле:

  , где

νо – резонансная частота контура;

2Δν – полоса пропускания контура по уровню 0,707.

1. Установите частоту колебания генератора низких частот вблизи резонанса и определите добротность контура по скорости нарастания амплитуды напряжения в интервале установления колебаний в контуре (рис.5.3) по формуле:

      , где

n – количество периодов колебаний между выбранными значениями времени t1 и t2 в интервале установления колебательного процесса в контуре;

Ао – установившееся значение амплитуды колебаний;

A1 и А2 – значения амплитуды колебаний в моменты времени t1 и t2 соответственно.

Рис.5.5

1. Рассчитайте величину добротности контура, исходя из значений величин, входящих в него элементов при Rм = 0 и Rм заданном руководителем [см. пункт 8], учитывая, что сопротивление катушки индуктивности  Rк равно… Ом.
2. Сравните полученные результаты п.12 с результатами расчётов  п.9 и п.10. Сделайте вывод по проделанной работе.

5.3 Аппаратура, используемая при выполнении лабораторной работы

1. Генератор низкой частоты – ГНЧ
2. Осциллограф – О.
3. Магазин сопротивлений МС.
4. Источник питания – ИП.
5. Вольтметр – V.
6. Лабораторный макет.