ознакомление с затухающим процессом колебаний в электрическом колебательном контуре и параметрами, характеризующими этот процесс

Цель работы: ознакомление с затухающим процессом колебаний в электрическом колебательном контуре и параметрами, характеризующими этот процесс.

3.1 Краткие теоретические сведения

Если в колебательной системе не учитывать потери энергии, колебания в ней носят незатухающий характер. В реальных же системах амплитуда колебаний постепенно уменьшается до полного их прекращения.

Рассмотрим   электрический  колебательный контур с учетом активного сопротивления катушки индуктивности r (рис.3.1).

Рис.3.1

По второму закону Кирхгофа для мгновенных значений напряжений на элементах контура  можно записать:

или

,                                       (3.1)

где q – заряд конденсатора

Приняв во внимание, что

, имеем:

,

            .                              (3.2)

Обозначим  ; ,  получим

                                                                          (3.3)

где δ –  коэффициент  затухания (единица измерения ), а  ωо – собственная частота колебаний контура.

Данное уравнение описывает обширный класс колебательных систем как электрических, так и механических, например, маятника, и представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Его решением является

                                                                                (3.4)

       В этом легко убедиться путем подстановки в (3.3) выражения (3.4) и значений первой и второй производных этого выражения, учтя, что

.                                     (3.5)

       В теории дифференциальных уравнений доказывается, что при уравнение (3.3) не имеет иных решений, кроме тех, которые представлены уравнением (3.4) (при всех возможных значениях А и φ).

       Формула (3.5) имеет физический смысл, когда ω действительное положительное число, т.е при .

       Следовательно

                  или                                      (3.6)

       При выполнении  условия (3.6) функция (3.4) представляет собой произведение показательной функции и синусоидальной функции , если принять .

       Период функции равный  больше периода собственных колебаний контура ,

       Графики функций , и q=+ представлены на рисунке 3.2.

Рис. 3.2

Функция (3.4) представляет собой затухающее колебание. Эта функция непериодическая, т.к. она не удовлетворяет определению периодической функции f(t)=f(t+T).

       Повторяемость функции заключается в том, что ее максимумы и минимумы наступают через равные промежутки времени, равные периоду гармонического колебания с частотой ω.

       Пусть q1 и qn+1 значение двух соседних максимумов, где n=1,2,3…

       В результате имеем

                                        (3.7)

                                  (3.8)

       где tn и t(n+1) – моменты времени наступления соответствующих максимумов.

       Разделим (3.7) на (3.8):

       Приняв во внимание, что , получим

                                        (3.9)

Примем d=δT, получим

                                                                                        (3.10)

       Величина d получила название логарифмический декремент затухания (безразмерная величина).

       Возьмем логарифм отношения (3.10):

                                                                              (3.11)

       Отношении (3.11) показывает, что максимумы функции (3.4) изменяються по убывающей геометрической прогрессии, т.е. отношение каждого последующего максимума к предыдущему постоянно, следовательно d постоянная величина.

       Рассмотрим случай, когда  ω0 = δ  В этом случае ω=0, следовательно

                                   , откуда  ,                     (3.12)

       где ZВ-волновое сопротивление контура.

       Такой режим работы и величина активного сопротивления контура получили название критических.

       В этом случае колебательный процесс в контуре будет носить апериодический характер (колебания отсутствуют), также как и при условии δ>ω0

       Для характеристики затухания колебательных контуров часто используется величина, называемая добротностью. Она определяется по формуле:

       Добротность контура Q определяет во сколько раз запасенная в контуре энергия превосходит среднюю потерю энергии за промежуток времени, в течении которого фаза колебания меняется на 1 радиан, т.е.

                                                  ,                                      (3.18)

где W0 – энергия, запасенная в контуре в начале цикла,

      ΔW – потери энергии за цикл.

3.2 Аппаратура, используемая при выполнении работы

1. Генератор импульсов             –    ГИ

2. Осциллограф                           –    О

3. Магазин сопротивлений         –   МС

4. Лабараторный макет

Функциональная схема лабораторной установки для проведения исследований представлена на рисунке 3.3. К гнездам Х1 подключается генератор импульсов, к Х2  осциллограф, к Х3 магазин сопротивлений.

Рисунок 3.3

3.3 Порядок выполнения работы

1. Собрать схему исследования согласно рис 3.3.
2. На выходе генератора импульсов (ГИ) установить указанную руководителем длительность импульсов возбуждения контура  и  их скважность.                .                      
3. При подаче импульсов напряжения на вход контура в нем возбуждаются собственные колебания практически мгновенно и фиксируются на экране осциллографа. Необходимо подобрать усиление по горизонтали так, чтобы  на экране осциллографа полностью уложилась вся картина затухающего колебания.
4. Определить период собственных колебаний контура при условии, когда активное сопротивление контура состоит только из сопротивления катушки индуктивности rк=4,2 Ом (внешнее сопротивление Rм магазина сопротивлений равно нулю).
5. Сравните измеренное значение периода собственных колебаний контура с вычислениями по приближенной формуле:

       и по точной:                      ,

       если L=52 мкГн, а  Ск =1мкФ.

1. Снять зависимость коэффициента затухания исследуемого контура от величины его активного сопротивления . Для чего, увеличивая величину сопротивления магазина МС каждый раз на 1 Ом, определяются максимумы двух соседних импульсов на осциллограмме свободного затухающего колебательного процесса qn и qn+1. При этом коэффициент затухания вычисляется по формуле :

       Данные измерений и вычислений заносяться в таблицу

R*K=rK+RM

1. При каждом переключении магазина сопротивлений измерить и вычислить период собственных колебаний, результаты занести в таблицу.
2. Замерить величину критического сопротивления Rкр контура, при котором разряд конденсатора Ск становиться апериодическим. Сравнить полученное значение RкрС вычисленным из условия :

.

1. Для  каждого значения R*К в таблице расчитать коэффициент затухания δРАСЧ и занести в таблицу.

1. По полученым результатам построить в одной системе координат зависимости

и сделать вывод.

1. Рассчитать для соответствующих значений в таблице δ и T логарифмический декремент затухания контура и его добротность. Результаты занести в таблицу.            

1. По полученным результатам расчета построить в одной системе координат соответственно

и ,

и

сделать выводы.

Рассчитать значение сопротивления , при котором амплитуда колебаний убывает в 10 раз. Включить в контур рассчитаное сопротивление с учетом сопротивления катушки индуктивности и убедиться в том, что затухание имеет надлежащую величину.