ознакомление с методикой сложения двух синхронных скалярных гармонических колебаний и расчетом параметров результирующего колебания

ознакомление с методикой сложения двух синхронных скалярных гармонических колебаний и расчетом параметров результирующего колебания

Цель работы: ознакомление с методикой сложения двух синхронных скалярных гармонических колебаний и расчетом параметров результирующего колебания.

1.2  Краткие теоретические сведения.

Явление, описываемое формулой

                           ,                                (1.1)

где А и ω – постоянные, называется  гармоническим колебанием.

Функция соs ωt периодическая, поэтому при любом t имеет место равенство:

                             ,         (1.2)

где Т – промежуток времени, называемый периодом гармонического колебания, в течение которого совершается полное колебание, после которого весь процесс повторяется . Угловым периодом функции сos ωt является   2π, поэтому

                                                      ,                                         (1.3)

т.е. или .

Величина ω называется круговой частотой, представляющей собой число полных колебаний, происходящих в течение 2π единиц времени.

Величина

                                                                                        (1.4)

называется частотой гармонического колебания. Это число полных колебаний за единицу времени. За единицу частоты принят 1 Гц – это частота периодического процесса, при которой за 1 сек происходит один цикл процесса.

Величина А называется амплитудой гармонического колебания .Это наибольшее значение, которое принимает функция S, в процессе колебания, описываемого формулой 1.1. Формула 1.1 указывает, что при t=0 величина S проходит через значение S=A. Физически на примере колебаний маятника это означает, что в момент t=0 (начало отсчета времени) маятник проходит одно из крайних положений, т.е. S проходит через один из максимумов.

При начале отсчета в произвольный момент времени колебание может быть описано следующим выражением :

                                     ,                                    (1.5)

где tm – момент времени прохождения S через максимальное значение.

Введя обозначение

                                     ,                                       (1.6)

Можно записать формулу (1.6) в таком виде:

                                                                                 (1.6 а)

Величина ωt-φ называется фазой гармонического колебания.

Начальная фаза φ – величина безразмерная и зависит от выбора начала отсчета времени.

Физические величины, совершающие колебательный процесс, могут быть скалярными (от латинского – ступенчатый, т.е. величины, значения которых может быть выражено одним действительным числом) или векторными (от латинского – несущий, с геометрической точки зрения – направленные отрезки ).

В реальных условиях часто физическая величина (скаляр или вектор) есть сумма (суперпозиция) нескольких гармонических колебательных процессов и требуется исследовать закон изменения во времени этой величины. Например: а) изменение давления воздуха Δ p, с

Величина φ называется начальной фазой гармонического колебания. Она может быть как  > 0, так и < 0,создаваемое в данной точке пространства двумя источниками звука; б) изменение тока  i в разветвленной цепи, если известны токи  i1, i2,… в разветвлениях; в) изменение напряженности электрического поля , создаваемого в данной точке пространства двумя радиопередатчиками. В общем случае значение этих физических величин равно векторной сумме двух гармонических процессов

,                                             (1.7)

Знание законов суперпозиции физических величин различной природы, изменяющихся по гармоническому закону, имеет большое значение в прикладном плане в механике, оптике, радиофизике и других областях науки и техники.

Сложим два синхронных (одинаковой частоты) скалярных гармонических колебаний аналитическим методом:

,

где  S1 = A1cos(ωt – φ1);    S2 = A2cos(ωt – φ2).

Имеем

                            S = A1cos(ωt – φ1) + A2cos(ωt – φ2)                              (1.8)

Т.к. оба колебания гармонические с одинаковой частотой, результирующее колебание тоже гармоническое  с той же частотой

                  S=A cos(ωt – φ)= A1cos(ωt – φ1)+ A2cos(ωt – φ2)

Используя формулу  косинуса суммы двух углов, перепишем это равенство:

A cos ωt cos φ – A sin ωt sin φ = A1 cos ωt cos φ1– A1 sin ωt sin φ1 +

+ A 2cos ωt cos φ2 – A2 sin ωt sin φ2

Это уравнение будет тождеством относительно t, если коэффициенты при cos ωt и sin ωt в любой части тождества равны соответствующим коэффициентам в правой части

A cos φ = A1 cos φ1 + A2 cos φ2

A sin φ = A1 sin φ1 + A2 sin φ2

Решая эту систему уравнений, найдем:

                                                      (1.9)

                                                                    (1.10)

Как видно, амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз φ1- φ2  между составляющими колебаниями и их амплитуд.

Квадрат амплитуды гармонического колебания носит название интенсивности.

Сложение 2-х гармонических колебаний можно выполнить и методом векторных диаграмм. Построим векторные диаграммы этих колебаний. Пусть даны два вектора

Векторы    и   могут быть представлены вращающимися векторами  1  и  соответственно с одинаковой угловой скоростью ω. Угол между ними, а, следовательно, и разность фаз (φ2 – φ1) составляющих колебаний остается постоянным.

Суммой этих векторов является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах (рис.2.1).

Проекции результирующего вектора  на оси х и у можно записать следующим образом:

– на ось  ОХ                Ах =Ах1 + Ах2        или

Асоsφ = А1 соsφ1 + А2 соsφ2

– на ось ОY                        Аy =Ау1 + Ау2        или

Аsinφ = А1 sinφ1 + А2siφ2

Рис.2.1. Векторная диаграмма

Откуда интенсивность результирующего колебания равна

А2 = А21 + А22 + 2А1 А2cos(φ1 – φ2)

Угол наклона φ   вектора    к оси ОХ равен начальной фазе результирующего колебания. Из рис.2.1. видно, что

Сравнивая этот результат с тем, который был получен для сложения скалярных физических величин, можно сделать следующий вывод, что одни и те же формулы (1.9) и (1.10) решают задачу  сложения скалярных синхронных гармонических колебаний и задачу  сложении двух векторов. Поэтому, если необходимо решить задачу  сложения двух скалярных синхронных гармонических колебаний, это можно сделать с помощью геометрических построений, показанных на рис.2.1. При этом длины векторов должны быть равны в некотором масштабе амплитудам колебаний, а углы векторов с осью ОХ  должны быть равны начальным фазам складывающихся колебаний. Согласно формуле (1.9), результирующая суперпозиция двух гармонических колебаний зависит от разности начальных фаз составляющих колебаний. Для исследования этой зависимости в лабораторной работе используется фазовращатель, представляющий собой схему моста, в противолежащие плечи которого включаются активные сопротивления R и емкости С (рис.2.2а). В диагональ моста  ас подается напряжение  Uo = Uo cos ωt.

При равенстве сопротивлений и емкостей токи  i1 и  i2  в ветвях авс и аdс имеют равные амплитуды и фазы, т.е. i = i1 = i2.

                                                       Рис.2.2

Напряжение между узлами  а  и  d,  а также с и d изображаются на векторной диаграмме (рис.2,б) вектором  R  по направлению, совпадающему по фазе с током  i  и равным  iR. Напряжение между  узлами  b и c,a и d – вектором  Uc , величиной , но по фазе, отстающей от вектора UR на угол . Результирующий вектор 0 представляет собой сумму векторов UR и Uc.

Снимается напряжение Uвых с диагонали bd мостиковой схемы фазовращателя, амплитуда которого является разностью напряжений UR и Uc , т.к. токи i1и i2 направлены в ветвях bad и bcd в противоположные стороны.Из векторной диаграммы (рис.2.2,б) видно, что

                                                            (1.11)

Разность фаз φ можно изменять от 0 до π при изменении R или С от ∞ до 0.

Практически в фазовращателе оба сопротивления или емкости изменяются одновременно поворотом одной ручки.

2.2 Аппаратура, используемая при выполнении работы

1. Генератор низкой частоты      –  ГНЧ

2. Осциллограф                            –  О.

3. Лабораторный макет.

Принципиальная схема лабораторного макета представлена на рис.2.3

                                                      Рис. 2.3

2.3 Порядок выполнения работы

1. Рассчитать аналитически амплитуду и начальную фазу результирующего колебания суммы двух скалярных синхронных гармонических колебаний, если амплитуды составляющих колебаний А1 и А2, а их начальные фазы φ1 и φ2  соответственно (задание выдает руководитель).

2. Построить векторную диаграмму этих колебаний.

3. Рассчитать и построить график зависимости интенсивности результирующего колебания от величины разности фаз А2 = f (φ1 – φ2) при A1 = A2 и A1 ≠ A2 (задание выдает руководитель).

4. Подключить прибор к лабораторному макету согласно рис. 2.4

Рис. 2.4  Схема подключения лабораторного макета.

5. Включить приборы дать прогреться не менее 15 минут.

       6. Установить переключатель S1 на передней панели макета в положение «1». При этом переключатель осциллографа «Режим работы» должен находиться в положении «Поочередно».

       7. Установить амплитуду и частоту выходного сигнала генератора ( задание выдаёт руководитель), для контроля используя осциллограф.

       Зарисовать осциллограмму без соблюдения масштаба.

       8. Перевести переключатель осциллографа «Режим работы» в положение « I+II ». Измерить амплитуду сигнала и зарисовать осциллограмму.

9. Установить переключатель S1 в положение «2», переключатель «Режим работы» осциллографа вернуть в положение «Поочередно». Зарисовать осциллограмму.

10. Повторить п.8 для положения «2» переключателя S1.

11. Установить переключатель S1 в положение «3». При этом к выходу  II осциллографа подключается фазовращатель.

       Переключателем S2  на передней панели лабораторного макета можно изменять активное сопротивление плечей фазовращателя от 0  до . Каждому положению переключателя S2 соответствуют следующие величины сопротивлений:

12. При всех  положениях переключателя S2 измерить амплитуду результирующего колебания на экране осциллографа, при нахождении переключателя «Режим работы» осциллографа в положении «I+II». А также разность фаз слагаемых гармонических колебаний по  сдвигу осциллограмм одного колебания относительно другого по оси 0Х, при переключении переключателя «Режим работы » осциллографа в положение «Поочередно».

Данные измерения занести в таблицу.

Таблица

13. Рассчитать разность фаз слагаемых колебаний по формуле:

φ1– φ2 = ωΔt

где        Δt – измеренное время сдвига осциллограмм колебаний по п.12

– циклическая частота колебаний.

Данные расчета занести в таблицу.

14. Рассчитать разность фаз складываемых колебаний для каждого значения активного сопротивления фазовращателя по формуле:

,

где С =1мкФ –  емкость конденсатора плеча фазовращателя.

       Данные вычисления занести в таблицу.

       15. Вычислить интенсивность результирующих колебаний А2измер. по данным измерений амплитуды результирующих колебаний Аизмер. (п.12) для измеренных разностей фаз по п.13 , а также А2расчит. для всех разностей фаз, полученных расчетным путем  по п.14, взяв в качестве амплитуды слагаемых колебаний амплитуды установленные в п. 7.

       Данные расчетов занести в таблицу.  

       16. По данным таблицы построить графики зависимости

А2 =f(φ1-φ2), полученные расчетным путем и методом измерений в одной системе координат.

17. Сравнить полученные результаты и сделать выводы.