3. Погрешности теоретических моделей
Проблема достоверности наших представлений об окружающем мире, т.е. проблема соответствия модели системы и самой реальной системы, является ключевой проблемой в теории познания. Эту проблему решают и философы, и представители любой конкретной науки.
В настоящее время общепринято, что критерием истинности наших знаний является опыт.
В физике и технике считают, что модель адекватна объекту, если результаты теоретических исследований совпадают с результатами опыта в пределах погрешностей теоретических модели экспериментальных исследований.
Теория погрешностей эксперимента достаточно хорошо разработана. Источники таких погрешностей заложены как в природе самих явлений, так и в несовершенстве измерительных приборов. Исследование источников погрешностей эксперимента является предметом специальных и весьма сложных исследований.
Проблема погрешностей существует не только для предметного моделирования, но и в равной степени для теоретического моделирования.
При теоретическом моделировании, в соответствии с природой возникновения, будем различать:
• погрешности, связанные с неизбежно допускаемыми приближениями при разработке физической модели;
• погрешности, связанные с приближениями при составлении математической модели;
• погрешности метода анализа математической модели;
• погрешности, связанные с конечным числом разрядов чисел при вычислениях.
Эти погрешности называют методическими. При измерениях методические погрешности проявляют себя как систематические.
Поясним это на примере маятника. Математическая модель, описывающая малые колебания маятника в виде материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, при отсутствии трения имеет вид дифференциального уравнения
d2α/dt2+α(l/g)=0
где l — длина маятника, т — масса маятника, а — угол отклонения нити от вертикального направления, g -ускорение свободного падения. Решение этого уравнения
хорошо известно: это α = A sin(tl/g)1/2 или α = A cos(tl/g)1/2
В рассматриваемом случае погрешность физической модели обусловлена, например, пренебрежением размерами подвешенного тела, предположениями об отсутствии трения и невесомости и неизменности длины нити в процессе движения. Вместе с тем ясно, что в природе не существует материальных точек и недеформируемых тел и подвесов без трения.
Погрешность математической модели скажется в том случае, если приведенное выше уравнение будет применяться к реальным колебаниям маятника. Причина состоит в том, что при выводе этого уравнения использовалось приближение зт а « а , которое, строго говоря, справедливо лишь для случая бесконечно малых колебаний.
Погрешность метода анализа или решения математической модели возникнет тогда, если уравнение будет решаться (даже с помощью компьютера) численными методами. Причина состоит в том, что применение численных методов требует замены дифференциальных соотношений приближенными
алгебраическими, когда бесконечно малые величины заменяются конечными разностями.
Наконец, компьютер при проведении арифметических операций и выводе результатов на печать выполняет действия с числами, состоящими изконечного числа разрядов, и выполняет процедуру округления. При этом также возникает своя погрешность.
Проблема построения и анализа математической модели с заданной точностью, а также оценка погрешности численных расчетов в ряде случаев очень сложна. Требуется высокая математическая культура исследователя, необходим тщательный предварительный анализ математической модели и применяемых методов решения. Не имеет смысла, например, требование решения с точностью, существенно превышающей точность построения физической модели.
Применение ЭВМ значительно увеличило возможности построения и исследования математических моделей в прикладных областях. Однако не следует думать, что совершенное знание математики, численных методов и языков программирования позволяют решить любую физическую и прикладную задачу. Это объясняется тем, что даже самые изящные и точные методы расчетов не могут исправить ошибки, допущенные при построении физической модели.