Часть 3. Статистическая обработка результатов серий многократных измерений одной физической величины (1)

Часть 3. Статистическая обработка результатов серий многократных измерений одной физической величины

3.1. Анализ точечной диаграммы.

Задан массив результатов измерений одной и той же физической величины:

 

Таблица 3.1.

34,011

33,973

33,926

33,964

33,813

33,808

33,985

33,960

33,918

33,867

33,811

 

34,026

33,961

33,893

33,852

33,808

 

33,992

33,941

33,922

33,873

33,832

 

33,969

33,924

33,835

33,844

33,804

 

34,019

33,922

33,863

33,837

33,830

 

33,904

33,892

33,908

33,835

33,799

 

33,956

33,946

33,893

33,860

33,791

 

33,983

33,917

33,943

33,830

33,750

 

33,953

33,886

33,878

33,800

33,813

 

33,977

33,945

33,933

33,852

33,787

 

33,950

33,924

33,952

33,823

33,772

 

По этим результатам измерений построим с помощью пакета STATISTICA точечную диаграмму:

 

Рис.3.1. Точечная диаграмма

Из точечной диаграммы видно, что в результатах измерений присутствует прогрессирующая систематическая погрешность (значения монотонно убывают). Это говорит о том, что данные результаты измерений являются неисправленными. Аппроксимируем точечную диаграмму прямой и подсчитаем отклонения по формуле:

Vi=Xср-Xi

 

 

Рис.3.2 Диаграмма рассеяния

 

Проводим эквидистанты через наиболее удаленные точки. При «частичном исправлении» результатов наблюдений с использованием точечных диаграмм под Хср понимают «текущее среднее», определяемое по аппроксимирующей линии. Тогда за отклонение Vi принимаем отклонение каждого из наблюдений от аппроксимирующей линии в масштабе точечной диаграммы:

Таблица 3.2.

 

Vi

 

Vi

 

Vi

 

Vi

 

Vi

 

Vi

1

0,0116

13

0,0168

25

0,013

37

0,0942

49

-0,0136

61

0,0246

2

-0,0108

14

0,0074

26

0,0086

38

0,0008

50

-0,012

  

3

0,0338

15

0,012

27

-0,0128

39

-0,0106

51

-0,0114

  

4

0,0034

16

-0,0044

28

0,0198

40

0,014

52

0,0162

  

5

-0,016

17

-0,0178

29

-0,0636

41

-0,0114

53

-0,0082

  

6

0,0376

18

-0,0162

30

-0,032

42

-0,0148

54

0,0214

  

7

-0,0738

19

-0,0426

31

0,0166

43

-0,0132

55

-0,006

  

8

-0,0182

20

0,015

32

0,0052

44

0,0154

56

-0,0104

  

9

0,0124

21

-0,0104

33

0,0588

45

-0,011

57

-0,0478

  

10

-0,014

22

-0,0378

34

-0,0026

46

-0,0374

58

0,0188

  

11

0,0136

23

0,0248

35

0,056

47

0,0182

59

-0,0036

  

12

-0,0098

24

0,0074

36

0,0786

48

-0,0072

60

-0,015

  

 

    3.2. Порядок статистической обработки результатов измерений следующий:

1. Проверка правильности значений отклонений:

= 0,0595

2. Расчет оценки среднего квадратического отклонения результатов наблюдений:

3. Проверка гипотезы о сходимости эмпирического и теоретического распределений по критериям согласия.

       Так как n>50, то для проверки сходимости распределения с нормальным предпочтительно использование критериев Пирсона (n >100) или Мизеса-Смирнова (n>50).

Построим гистограмму:

 

Рис.3.3. Гистограмма частот Размеров или отклонений?!

 

Построим таблицу частот (рис.3.4). Значение статистики Chi-Square (χ2)= 9,10424; количество степеней свободы df=6; значение вероятности, с которой получено значение χ2, равно p= 0,16780.

 

Рис.3.4. Таблица частот

Подсчитаем значение χ2(наблюдаемое) по следующей формуле:

 

,

 

где ni – наблюдаемые частоты (Observed frequency)

      ni´ – ожидаемые частоты (Expected frequency)

Значение χ 2 (критическое) берем из таблицы для значения степени свободы df=6.

χ 2набл.< χ 2критич.(по критерию Пирсона). Но в нашем случае χ 2набл.>χ 2критич. , т.е. 13,96627>12,592. Отсюда следует, что сходимость распределения с нормальным маловероятна, что и видно на гистограмме.

 

4. Статистическая проверка наличия результатов с грубыми погрешностями.

Определение критерия V для статистического отбраковывания экстремальных результатов Xextr и сравнение его с критическим значением V’

V = ( |Xextr – Xср| / σ) > V’,

или упрощенная процедура отбраковывания экстремальных отклонений при нормальном распределении погрешностей, например, по критерию3σ  в форме|V extr| > 3σ. В данном случае  V = ( Vmax / x) > V’

Проверке подвергнем наиболее подозрительные результаты измерений:

|Vmax| <3х:   3х = 3·0,029 = 0,087;  Vmax=0,0942, Vmin= -0,0738

Отсюда видно, что последний результат с грубой погрешностью, его отбраковываем. А если отбракован хотя бы один результат с грубой погрешностью, то обработка повторяется с п.1. (но при их отбрасывании результаты статистической обработки останутся практически теми же). Произведем повторный расчет:

    

  • Проверка правильности значений отклонений:

=(-0,0346)

  • Расчет оценки среднего квадратического отклонения результатов наблюдений:

  • Проверка гипотезы о сходимости эмпирического и теоретического распределений по критериям согласия.

Гистограмма получается практические такая же как на рис.3.3 (с незначительным отличием), т.е. по гистограмме также видно, что сходимость распределения с нормальным маловероятна (χ 2набл.=13,7282).

  • Статистическая проверка наличия результатов с грубыми погрешностями.

Проверке снова подвергаем наиболее подозрительные результаты измерений.

3σ=3·0,0266=0,0798

Грубых погрешностей нет. Так как с помощью отклонений Vi  мы избавляемся от систематической составляющей, то  в этом случае необходимо построить гистограмму этих отклонений (рис.3.5.). Данную гистограмму построим в пакете STATISTICA.

Рис.3.5. Гистограмма отклонений

 

5. Расчет оценки среднего квадратического отклонения результата измерения (оценки СКО среднего арифметического значения)

  6. Определим доверительную границу результата измерений Δ для разных значений доверительной вероятности P. При  P=0,95 коэффициент Стьюдента t=2, а при P=0,99 коэффициент Стьюдента t=3.

        Тогда значение Δ рассчитываем по формуле

     где t – коэффициент Стьюдента;

Таким образом, для P=0,95: Δ=2·0,00343=0,0069; для P=0,99: Δ=3·0,00343=0,010.

По полученным данным построим кривые распределения.

 

 

Для Р=0,95 доверительная граница результата измерений равна 0,0069, а для Р=0,99 она равна 0,010. Изобразим графически:

7. Запись результата измерения A  в установленной форме.

Q = Xср + Δ·Р,

где ;

t – коэффициент Стьюдента, зависящий от n и Р;

Р – доверительная вероятность.

Поскольку в серии результатов наблюдений присутствует переменная систематическая погрешность, точечную оценку в виде Xср не представляем, заменяя ее буквенной оценкой общего вида А:

Q=А ± 0,0069;  P=0,95.

Q=А ± 0,010;  P=0,99.     

         Записанный результат означает, что с такой вероятностью (P=0,95 или P=0,99)  данный интервал накрывает истинное значение измеряемой величины.При этом погрешность измерения может иметь любое значение. Чем больше вероятность появления значений погрешностей, тем они ближе к нулю.