Часть 3. Статистическая обработка результатов серий многократных измерений одной физической величины (1)

Часть 3. Статистическая обработка результатов серий многократных измерений одной физической величины

3.1. Анализ точечной диаграммы.

Задан массив результатов измерений одной и той же физической величины:

Таблица 3.1.

По этим результатам измерений построим с помощью пакета STATISTICA точечную диаграмму:

Рис.3.1. Точечная диаграмма

Из точечной диаграммы видно, что в результатах измерений присутствует прогрессирующая систематическая погрешность (значения монотонно убывают). Это говорит о том, что данные результаты измерений являются неисправленными. Аппроксимируем точечную диаграмму прямой и подсчитаем отклонения по формуле:

Vi=Xср-Xi

Рис.3.2 Диаграмма рассеяния

Проводим эквидистанты через наиболее удаленные точки. При «частичном исправлении» результатов наблюдений с использованием точечных диаграмм под Хср понимают «текущее среднее», определяемое по аппроксимирующей линии. Тогда за отклонение Vi принимаем отклонение каждого из наблюдений от аппроксимирующей линии в масштабе точечной диаграммы:

Таблица 3.2.

    3.2. Порядок статистической обработки результатов измерений следующий:

1. Проверка правильности значений отклонений:

= 0,0595

2. Расчет оценки среднего квадратического отклонения результатов наблюдений:

3. Проверка гипотезы о сходимости эмпирического и теоретического распределений по критериям согласия.

       Так как n>50, то для проверки сходимости распределения с нормальным предпочтительно использование критериев Пирсона (n >100) или Мизеса-Смирнова (n>50).

Построим гистограмму:

Рис.3.3. Гистограмма частот Размеров или отклонений?!

Построим таблицу частот (рис.3.4). Значение статистики Chi-Square (χ2)= 9,10424; количество степеней свободы df=6; значение вероятности, с которой получено значение χ2, равно p= 0,16780.

Рис.3.4. Таблица частот

Подсчитаем значение χ2(наблюдаемое) по следующей формуле:

,

где ni – наблюдаемые частоты (Observed frequency)

      ni´ – ожидаемые частоты (Expected frequency)

Значение χ 2 (критическое) берем из таблицы для значения степени свободы df=6.

χ 2набл.< χ 2критич.(по критерию Пирсона). Но в нашем случае χ 2набл.>χ 2критич. , т.е. 13,96627>12,592. Отсюда следует, что сходимость распределения с нормальным маловероятна, что и видно на гистограмме.

4. Статистическая проверка наличия результатов с грубыми погрешностями.

Определение критерия V для статистического отбраковывания экстремальных результатов Xextr и сравнение его с критическим значением V’

V = ( |Xextr – Xср| / σ) > V’,

или упрощенная процедура отбраковывания экстремальных отклонений при нормальном распределении погрешностей, например, по критерию3σ  в форме|V extr| > 3σ. В данном случае  V = ( Vmax / x) > V’

Проверке подвергнем наиболее подозрительные результаты измерений:

|Vmax| <3х:   3х = 3·0,029 = 0,087;  Vmax=0,0942, Vmin= -0,0738

Отсюда видно, что последний результат с грубой погрешностью, его отбраковываем. А если отбракован хотя бы один результат с грубой погрешностью, то обработка повторяется с п.1. (но при их отбрасывании результаты статистической обработки останутся практически теми же). Произведем повторный расчет:

• Проверка правильности значений отклонений:

=(-0,0346)

• Расчет оценки среднего квадратического отклонения результатов наблюдений:

• Проверка гипотезы о сходимости эмпирического и теоретического распределений по критериям согласия.

Гистограмма получается практические такая же как на рис.3.3 (с незначительным отличием), т.е. по гистограмме также видно, что сходимость распределения с нормальным маловероятна (χ 2набл.=13,7282).

• Статистическая проверка наличия результатов с грубыми погрешностями.

Проверке снова подвергаем наиболее подозрительные результаты измерений.

3σ=3·0,0266=0,0798

Грубых погрешностей нет. Так как с помощью отклонений Vi  мы избавляемся от систематической составляющей, то  в этом случае необходимо построить гистограмму этих отклонений (рис.3.5.). Данную гистограмму построим в пакете STATISTICA.

Рис.3.5. Гистограмма отклонений

5. Расчет оценки среднего квадратического отклонения результата измерения (оценки СКО среднего арифметического значения)

  6. Определим доверительную границу результата измерений Δ для разных значений доверительной вероятности P. При  P=0,95 коэффициент Стьюдента t=2, а при P=0,99 коэффициент Стьюдента t=3.

        Тогда значение Δ рассчитываем по формуле

     где t – коэффициент Стьюдента;

Таким образом, для P=0,95: Δ=2·0,00343=0,0069; для P=0,99: Δ=3·0,00343=0,010.

По полученным данным построим кривые распределения.

Для Р=0,95 доверительная граница результата измерений равна 0,0069, а для Р=0,99 она равна 0,010. Изобразим графически:

7. Запись результата измерения A  в установленной форме.

Q = Xср + Δ·Р,

где ;

t – коэффициент Стьюдента, зависящий от n и Р;

Р – доверительная вероятность.

Поскольку в серии результатов наблюдений присутствует переменная систематическая погрешность, точечную оценку в виде Xср не представляем, заменяя ее буквенной оценкой общего вида А:

Q=А ± 0,0069;  P=0,95.

Q=А ± 0,010;  P=0,99.     

         Записанный результат означает, что с такой вероятностью (P=0,95 или P=0,99)  данный интервал накрывает истинное значение измеряемой величины.При этом погрешность измерения может иметь любое значение. Чем больше вероятность появления значений погрешностей, тем они ближе к нулю.