Часть 3. Статистическая обработка результатов серий многократных измерений одной физической величины
3.1. Анализ точечной диаграммы.
Задан массив результатов измерений одной и той же физической величины:
Таблица 3.1.
34,011 | 33,973 | 33,926 | 33,964 | 33,813 | 33,808 |
33,985 | 33,960 | 33,918 | 33,867 | 33,811 |
|
34,026 | 33,961 | 33,893 | 33,852 | 33,808 |
|
33,992 | 33,941 | 33,922 | 33,873 | 33,832 |
|
33,969 | 33,924 | 33,835 | 33,844 | 33,804 |
|
34,019 | 33,922 | 33,863 | 33,837 | 33,830 |
|
33,904 | 33,892 | 33,908 | 33,835 | 33,799 |
|
33,956 | 33,946 | 33,893 | 33,860 | 33,791 |
|
33,983 | 33,917 | 33,943 | 33,830 | 33,750 |
|
33,953 | 33,886 | 33,878 | 33,800 | 33,813 |
|
33,977 | 33,945 | 33,933 | 33,852 | 33,787 |
|
33,950 | 33,924 | 33,952 | 33,823 | 33,772 |
|
По этим результатам измерений построим с помощью пакета STATISTICA точечную диаграмму:
Рис.3.1. Точечная диаграмма
Из точечной диаграммы видно, что в результатах измерений присутствует прогрессирующая систематическая погрешность (значения монотонно убывают). Это говорит о том, что данные результаты измерений являются неисправленными. Аппроксимируем точечную диаграмму прямой и подсчитаем отклонения по формуле:
Vi=Xср-Xi
Рис.3.2 Диаграмма рассеяния
Проводим эквидистанты через наиболее удаленные точки. При «частичном исправлении» результатов наблюдений с использованием точечных диаграмм под Хср понимают «текущее среднее», определяемое по аппроксимирующей линии. Тогда за отклонение Vi принимаем отклонение каждого из наблюдений от аппроксимирующей линии в масштабе точечной диаграммы:
Таблица 3.2.
| Vi |
| Vi |
| Vi |
| Vi |
| Vi |
| Vi |
1 | 0,0116 | 13 | 0,0168 | 25 | 0,013 | 37 | 0,0942 | 49 | -0,0136 | 61 | 0,0246 |
2 | -0,0108 | 14 | 0,0074 | 26 | 0,0086 | 38 | 0,0008 | 50 | -0,012 | ||
3 | 0,0338 | 15 | 0,012 | 27 | -0,0128 | 39 | -0,0106 | 51 | -0,0114 | ||
4 | 0,0034 | 16 | -0,0044 | 28 | 0,0198 | 40 | 0,014 | 52 | 0,0162 | ||
5 | -0,016 | 17 | -0,0178 | 29 | -0,0636 | 41 | -0,0114 | 53 | -0,0082 | ||
6 | 0,0376 | 18 | -0,0162 | 30 | -0,032 | 42 | -0,0148 | 54 | 0,0214 | ||
7 | -0,0738 | 19 | -0,0426 | 31 | 0,0166 | 43 | -0,0132 | 55 | -0,006 | ||
8 | -0,0182 | 20 | 0,015 | 32 | 0,0052 | 44 | 0,0154 | 56 | -0,0104 | ||
9 | 0,0124 | 21 | -0,0104 | 33 | 0,0588 | 45 | -0,011 | 57 | -0,0478 | ||
10 | -0,014 | 22 | -0,0378 | 34 | -0,0026 | 46 | -0,0374 | 58 | 0,0188 | ||
11 | 0,0136 | 23 | 0,0248 | 35 | 0,056 | 47 | 0,0182 | 59 | -0,0036 | ||
12 | -0,0098 | 24 | 0,0074 | 36 | 0,0786 | 48 | -0,0072 | 60 | -0,015 |
3.2. Порядок статистической обработки результатов измерений следующий:
1. Проверка правильности значений отклонений:
= 0,0595
2. Расчет оценки среднего квадратического отклонения результатов наблюдений:
3. Проверка гипотезы о сходимости эмпирического и теоретического распределений по критериям согласия.
Так как n>50, то для проверки сходимости распределения с нормальным предпочтительно использование критериев Пирсона (n >100) или Мизеса-Смирнова (n>50).
Построим гистограмму:
Рис.3.3. Гистограмма частот Размеров или отклонений?!
Построим таблицу частот (рис.3.4). Значение статистики Chi-Square (χ2)= 9,10424; количество степеней свободы df=6; значение вероятности, с которой получено значение χ2, равно p= 0,16780.
Рис.3.4. Таблица частот
Подсчитаем значение χ2(наблюдаемое) по следующей формуле:
,
где ni – наблюдаемые частоты (Observed frequency)
ni´ – ожидаемые частоты (Expected frequency)
Значение χ 2 (критическое) берем из таблицы для значения степени свободы df=6.
χ 2набл.< χ 2критич.(по критерию Пирсона). Но в нашем случае χ 2набл.>χ 2критич. , т.е. 13,96627>12,592. Отсюда следует, что сходимость распределения с нормальным маловероятна, что и видно на гистограмме.
4. Статистическая проверка наличия результатов с грубыми погрешностями.
Определение критерия V для статистического отбраковывания экстремальных результатов Xextr и сравнение его с критическим значением V’
V = ( |Xextr – Xср| / σ) > V’,
или упрощенная процедура отбраковывания экстремальных отклонений при нормальном распределении погрешностей, например, по критерию3σ в форме|V extr| > 3σ. В данном случае V = ( Vmax / x) > V’
Проверке подвергнем наиболее подозрительные результаты измерений:
|Vmax| <3х: 3
х = 3·0,029 = 0,087; Vmax=0,0942, Vmin= -0,0738
Отсюда видно, что последний результат с грубой погрешностью, его отбраковываем. А если отбракован хотя бы один результат с грубой погрешностью, то обработка повторяется с п.1. (но при их отбрасывании результаты статистической обработки останутся практически теми же). Произведем повторный расчет:
- Проверка правильности значений отклонений:
=(-0,0346)
- Расчет оценки среднего квадратического отклонения результатов наблюдений:
- Проверка гипотезы о сходимости эмпирического и теоретического распределений по критериям согласия.
Гистограмма получается практические такая же как на рис.3.3 (с незначительным отличием), т.е. по гистограмме также видно, что сходимость распределения с нормальным маловероятна (χ 2набл.=13,7282).
- Статистическая проверка наличия результатов с грубыми погрешностями.
Проверке снова подвергаем наиболее подозрительные результаты измерений.
3σ=3·0,0266=0,0798
Грубых погрешностей нет. Так как с помощью отклонений Vi мы избавляемся от систематической составляющей, то в этом случае необходимо построить гистограмму этих отклонений (рис.3.5.). Данную гистограмму построим в пакете STATISTICA.
Рис.3.5. Гистограмма отклонений
5. Расчет оценки среднего квадратического отклонения результата измерения (оценки СКО среднего арифметического значения)
6. Определим доверительную границу результата измерений Δ для разных значений доверительной вероятности P. При P=0,95 коэффициент Стьюдента t=2, а при P=0,99 коэффициент Стьюдента t=3.
Тогда значение Δ рассчитываем по формуле
где t – коэффициент Стьюдента;
Таким образом, для P=0,95: Δ=2·0,00343=0,0069; для P=0,99: Δ=3·0,00343=0,010.
По полученным данным построим кривые распределения.
Для Р=0,95 доверительная граница результата измерений равна 0,0069, а для Р=0,99 она равна 0,010. Изобразим графически:
7. Запись результата измерения A в установленной форме.
Q = Xср + Δ·Р,
где ;
t – коэффициент Стьюдента, зависящий от n и Р;
Р – доверительная вероятность.
Поскольку в серии результатов наблюдений присутствует переменная систематическая погрешность, точечную оценку в виде Xср не представляем, заменяя ее буквенной оценкой общего вида А:
Q=А ± 0,0069; P=0,95.
Q=А ± 0,010; P=0,99.
Записанный результат означает, что с такой вероятностью (P=0,95 или P=0,99) данный интервал накрывает истинное значение измеряемой величины.При этом погрешность измерения может иметь любое значение. Чем больше вероятность появления значений погрешностей, тем они ближе к нулю.